Упр.720 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Просвещение: Докажите тождество а^n — 1 = (а — 1)(а^(n — 1) + а^(n — 2) + … + а + 1). Чему равна разность арифметической прогрессии (an), если a6 = -2, a7 = 6?

Докажем тождество:

$$a^n-1=(a-1)(a^{n-1}+a^{n-2}+\dots+a+1).$$

Раскроем скобки в правой части:

$$ (a-1)(a^{n-1}+a^{n-2}+\dots+a+1) $$

$$ = a\cdot a^{n-1}+a\cdot a^{n-2}+\dots+a\cdot a+a-a^{n-1}-a^{n-2}-\dots-a-1 $$

$$ = a^n+a^{n-1}+\dots+a^2+a-a^{n-1}-a^{n-2}-\dots-a-1 $$

После сокращения одинаковых слагаемых остаётся:

$$a^n-1.$$

Тождество доказано.

Найдём разность арифметической прогрессии. Для соседних членов арифметической прогрессии:

$$a_{n+1}=a_n+d.$$

Тогда

$$d=a_7-a_6=6-(-2)=8.$$

Ответ

$$a^n-1=(a-1)(a^{n-1}+a^{n-2}+\dots+a+1),\quad d=8.$$