Упр.720 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. Докажите тождество $$a^n-1=(a-1)(a^{n-1}+a^{n-2}+\dots+a+1)$$.
2. Чему равна разность арифметической прогрессии $$(a_n)$$, если $$a_6=-2$$, $$a_7=6$$?

Докажем тождество:

$$a^n-1=(a-1)(a^{n-1}+a^{n-2}+\dots+a+1).$$

Раскроем скобки в правой части:

$$(a-1)(a^{n-1}+a^{n-2}+\dots+a+1)$$

$$= a\cdot a^{n-1}+a\cdot a^{n-2}+\dots+a\cdot a+a-a^{n-1}-a^{n-2}-\dots-a-1$$

$$= a^n+a^{n-1}+\dots+a^2+a-a^{n-1}-a^{n-2}-\dots-a-1$$

После сокращения одинаковых слагаемых остаётся:

$$a^n-1.$$

Тождество доказано.

Найдём разность арифметической прогрессии. Для соседних членов арифметической прогрессии:

$$a_{n+1}=a_n+d.$$

Тогда

$$d=a_7-a_6=6-(-2)=8.$$

Ответ

$$a^n-1=(a-1)(a^{n-1}+a^{n-2}+\dots+a+1),\quad d=8.$$