Упр.713 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Задача

Воину дана награда за первую рану 1 к., за вторую — 2 к., за третью — 4 к. и т. д.
После подсчёта оказалось, что воин получил награду в сумме 655 р. 35 к. Спрашивается количество его ран. Среди данных последовательностей укажите арифметические прогрессии:
1) 3, -6, 12, -24;
2) 4, 8, 12, 16;
3) 5, 10, 5, 10;
4) 42, 39, 36, 33;
5) -5, -3, -1, 1;
6) 1,2; 1,3; 1,5; 1,6.

Подробный ответ

1) Награды образуют геометрическую прогрессию с первым членом $$b_1=1$$ и знаменателем $$q=2$$. Тогда сумма первых $$n$$ членов:

$$S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{2^n-1}{2-1}=2^n-1.$$

По условию $$655\text{ р. }35\text{ к.}=65535\text{ к.}$$, значит

$$2^n-1=65535,$$

$$2^n=65536=2^{16},$$

откуда $$n=16.$$

2) Проверим последовательности на постоянство разности:

$$3,\,-6,\,12,\,-24$$
$$-6-3=-9,\quad 12-(-6)=18$$
Разности не равны, значит, это не арифметическая прогрессия.
$$4,\,8,\,12,\,16$$
$$8-4=4,\quad 12-8=4,\quad 16-12=4$$
Разность постоянна, значит, это арифметическая прогрессия.
$$5,\,10,\,5,\,10$$
$$10-5=5,\quad 5-10=-5$$
Разности не равны, значит, это не арифметическая прогрессия.
$$42,\,39,\,36,\,33$$
$$39-42=-3,\quad 36-39=-3,\quad 33-36=-3$$
Разность постоянна, значит, это арифметическая прогрессия.
$$-5,\,-3,\,-1,\,1$$
$$-3-(-5)=2,\quad -1-(-3)=2,\quad 1-(-1)=2$$
Разность постоянна, значит, это арифметическая прогрессия.
$$1{,}2;\,1{,}3;\,1{,}5;\,1{,}6$$
$$1{,}3-1{,}2=0{,}1,\quad 1{,}5-1{,}3=0{,}2$$
Разности не равны, значит, это не арифметическая прогрессия.