Упр.713 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Задача

Воину дана награда за первую рану $$1\text{ к.}$$, за вторую — $$2\text{ к.}$$, за третью — $$4\text{ к.}$$ и т. д. После подсчёта оказалось, что воин получил награду в сумме $$655\text{ р. }35\text{ к.}$$ Спрашивается количество его ран.
Среди данных последовательностей укажите арифметические прогрессии: 1) $$3,\ -6,\ 12,\ -24$$; 2) $$4,\ 8,\ 12,\ 16$$; 3) $$5,\ 10,\ 5,\ 10$$; 4) $$42,\ 39,\ 36,\ 33$$; 5) $$-5,\ -3,\ -1,\ 1$$; 6) $$1{,}2;\ 1{,}3;\ 1{,}5;\ 1{,}6$$.

Подробный ответ

1) Награды образуют геометрическую прогрессию с первым членом $$b_1=1$$ и знаменателем $$q=2$$. Тогда сумма первых $$n$$ членов:

$$S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{2^n-1}{2-1}=2^n-1.$$

По условию $$655\text{ р. }35\text{ к.}=65535\text{ к.}$$, значит

$$2^n-1=65535,$$

$$2^n=65536=2^{16},$$

откуда $$n=16.$$

2) Проверим последовательности на постоянство разности:

$$3,\,-6,\,12,\,-24$$
$$-6-3=-9,\quad 12-(-6)=18$$
Разности не равны, значит, это не арифметическая прогрессия.
$$4,\,8,\,12,\,16$$
$$8-4=4,\quad 12-8=4,\quad 16-12=4$$
Разность постоянна, значит, это арифметическая прогрессия.
$$5,\,10,\,5,\,10$$
$$10-5=5,\quad 5-10=-5$$
Разности не равны, значит, это не арифметическая прогрессия.
$$42,\,39,\,36,\,33$$
$$39-42=-3,\quad 36-39=-3,\quad 33-36=-3$$
Разность постоянна, значит, это арифметическая прогрессия.
$$-5,\,-3,\,-1,\,1$$
$$-3-(-5)=2,\quad -1-(-3)=2,\quad 1-(-1)=2$$
Разность постоянна, значит, это арифметическая прогрессия.
$$1{,}2;\,1{,}3;\,1{,}5;\,1{,}6$$
$$1{,}3-1{,}2=0{,}1,\quad 1{,}5-1{,}3=0{,}2$$
Разности не равны, значит, это не арифметическая прогрессия.