Упр.712 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Рассматриваются квадратичные функции у = х^2 + рх + q, для которых р + q = 5.
Докажите, что параболы, являющиеся графиками этих функций, пересекаются в одной точке.

1) Пусть знаменатель геометрической прогрессии равен $$q$$. Тогда

$$S_3=b_1\frac{q^3-1}{q-1}.$$

По условию $$S_3=516$$, $$b_1=12$$, значит

$$516=12\frac{q^3-1}{q-1}.$$

Так как $$q^3-1=(q-1)(q^2+q+1)$$, получаем

$$516=12(q^2+q+1).$$

$$q^2+q+1=43,$$

$$q^2+q-42=0.$$

$$D=1+168=169,$$

$$q_{1,2}=\frac{-1\pm 13}{2}.$$

Отсюда

$$q_1=6,\quad q_2=-7.$$

2) Рассмотрим две параболы

$$y=x^2+p_1x+q_1,\qquad p_1+q_1=5,$$

$$y=x^2+p_2x+q_2,\qquad p_2+q_2=5.$$

Из условий имеем

$$p_1=5-q_1,\qquad p_2=5-q_2.$$

Найдём общую точку этих парабол. Приравняем их уравнения:

$$x^2+p_1x+q_1=x^2+p_2x+q_2,$$

$$x(p_1-p_2)=q_2-q_1.$$

Но

$$p_1-p_2=(5-q_1)-(5-q_2)=q_2-q_1,$$

поэтому

$$x(q_2-q_1)=q_2-q_1.$$

Если $$q_1\ne q_2$$, то $$x=1$$. Подставим это значение в любую из функций:

$$y=1+p+q=1+(p+q)=1+5=6.$$

Значит, все такие параболы проходят через точку $$\,(1;6)\,$$.

Ответ

$$q=6$$ или $$q=-7$$; параболы пересекаются в одной точке $$\,(1;6)\,$$.