Упр.707 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Задача

1) с4 = 216, а знаменатель прогрессии q = -3;
2) c1 = 5корень(5), с5 = 125корень(5), а знаменатель прогрессии q > 0. Подберите одну из возможных формул n-го члена последовательности, первыми членами которой являются числа:
1) 2, 9, 28, 65, 126, …;
2) 1/2, 1/6, 1/12, 1/20, 1/30, … .

Подробный ответ

Для геометрической прогрессии $$c_n=c_1q^{n-1}$$ и сумма первых $$n$$ членов равна
$$S_n=\frac{c_1(q^n-1)}{q-1}, \quad q\ne 1.$$
1) Найдём первый член:
$$c_4=c_1q^3,$$
$$216=c_1\cdot(-3)^3,$$
$$216=-27c_1,$$
$$c_1=-8.$$
Тогда
$$S_6=\frac{-8\bigl((-3)^6-1\bigr)}{-3-1}=\frac{-8(729-1)}{-4}=1456.$$
2) Из условия
$$c_5=c_1q^4,$$
$$125\sqrt{5}=5\sqrt{5}\cdot q^4,$$
$$q^4=25,$$
так как $$q>0,$$ то
$$q=\sqrt{5}.$$
Тогда
$$S_6=\frac{5\sqrt{5}\bigl((\sqrt{5})^6-1\bigr)}{\sqrt{5}-1}=\frac{5\sqrt{5}(125-1)}{\sqrt{5}-1}.$$
Рационализуем знаменатель:
$$S_6=\frac{5\sqrt{5}\cdot124(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}=\frac{620\sqrt{5}(\sqrt{5}+1)}{4}=155(5+\sqrt{5}).$$
1) Последовательность $$2,\,9,\,28,\,65,\,126,\ldots$$ можно задать формулой
$$a_n=n^3+1.$$
Проверка: $$1^3+1=2,\;2^3+1=9,\;3^3+1=28,\;4^3+1=65,\;5^3+1=126.$$
2) Для последовательности $$\frac12,\;\frac16,\;\frac1{12},\;\frac1{20},\;\frac1{30},\ldots$$ подходит формула
$$a_n=\frac{1}{n(n+1)}.$$
Действительно, при $$n=1,2,3,4,5$$ получаем нужные члены.