Упр.705 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. Найдите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии: 1) $$12, 72, 432, \ldots$$; 2) $$\frac{1}{16}, -\frac{1}{8}, \frac{1}{4}, \ldots$$.
2. Последовательность $$(b_n)$$ задана формулой n-го члена $$b_n=-n^2+15n-20$$. Сколько членов этой последовательности больше, чем $$16$$?

1) Для геометрической прогрессии $$b_1=12$$, $$q=\frac{72}{12}=6$$.

Используем формулу суммы первых $$n$$ членов геометрической прогрессии:

$$S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}$$

Тогда

$$S_5=\frac{12(6^5-1)}{6-1} =\frac{12(7776-1)}{5} =\frac{12\cdot 7775}{5} =12\cdot 1555 =18660.$$

2) Здесь $$b_1=\frac{1}{16}$$, $$q=\frac{-1/8}{1/16}=-2$$.

Тогда

$$S_5=\frac{b_1(1-q^5)}{1-q} =\frac{1}{16}\cdot \frac{1-(-2)^5}{1-(-2)} =\frac{1}{16}\cdot \frac{1+32}{3} =\frac{33}{48} =\frac{11}{16}.$$

3) Найдём, сколько членов последовательности $$b_n=-n^2+15n-20$$ больше, чем $$16$$:

$$b_n>16$$

$$-n^2+15n-20>16$$

$$-n^2+15n-36>0$$

$$n^2-15n+36<0$$

$$(n-3)(n-12)<0$$

Отсюда

$$3<n<12.$$

Так как $$n$$ — натуральное число, получаем $$n=4,5,6,7,8,9,10,11$$. Всего таких членов $$8$$.

Ответ

1) $$18660$$; 2) $$\frac{11}{16}$$; 3) $$8$$.