Упр.704 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1) b1 = 1, q = 2, n = 9;
2) b1 = 15, q = 2/3, n = 3;
3) b1 = 18, q = -1/3, n = 5;
4) b1 = 4, q = -корень(2), n = 4.
Последовательность (аn) задана формулой n-гo члена аn = n^2 — Зn — 8.
Найдите номера членов этой последовательности, которые меньше 10.

1. Для суммы первых $$n$$ членов геометрической прогрессии используем формулу:

   $$S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}, \quad q\ne 1.$$

   1) $$b_1=1,\ q=2,\ n=9$$

   $$S_9=\frac{1\cdot(2^9-1)}{2-1}=2^9-1=512-1=511.$$

   Ответ: $$511$$.

2. 2) $$b_1=15,\ q=\frac{2}{3},\ n=3$$

   $$S_3=\frac{15\left(1-\left(\frac{2}{3}\right)^3\right)}{1-\frac{2}{3}}$$

   $$S_3=\frac{15\left(1-\frac{8}{27}\right)}{\frac{1}{3}}=15\cdot\frac{19}{27}\cdot 3=\frac{95}{3}=31\frac{2}{3}.$$

   Ответ: $$31\frac{2}{3}$$.

3. 3) $$b_1=18,\ q=-\frac{1}{3},\ n=5$$

   $$S_5=\frac{18\left(1-\left(-\frac{1}{3}\right)^5\right)}{1+\frac{1}{3}}$$

   $$S_5=\frac{18\left(1+\frac{1}{243}\right)}{\frac{4}{3}}=18\cdot\frac{244}{243}\cdot\frac{3}{4}=\frac{122}{9}=13\frac{5}{9}.$$

   Ответ: $$13\frac{5}{9}$$.

4. 4) $$b_1=4,\ q=-\sqrt{2},\ n=4$$

   $$S_4=\frac{4\left(1-\left(-\sqrt{2}\right)^4\right)}{1+\sqrt{2}}$$

   Так как $$\left(-\sqrt{2}\right)^4=4,$$ то

   $$S_4=\frac{4(1-4)}{1+\sqrt{2}}=\frac{-12}{1+\sqrt{2}}.$$

   Умножим числитель и знаменатель на $$1-\sqrt{2}$$:

   $$S_4=\frac{-12(1-\sqrt{2})}{(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})}=12(1-\sqrt{2}).$$

   Ответ: $$12(1-\sqrt{2})$$.

Для последовательности $$a_n=n^2-3n-8$$ найдём члены, меньшие $$10$$:

$$n^2-3n-8<10$$

$$n^2-3n-18<0.$$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$D=(-3)^2-4\cdot 1\cdot(-18)=9+72=81,$$

$$n_{1,2}=\frac{3\pm 9}{2},$$

откуда

$$n_1=-3,\quad n_2=6.$$

Тогда

$$-3<n<6.$$

Так как $$n$$ — номер члена последовательности, то $$n=1,2,3,4,5.$$

Ответ

1) $$511$$; 2) $$31\frac{2}{3}$$; 3) $$13\frac{5}{9}$$; 4) $$12(1-\sqrt{2})$$; номера членов последовательности: $$1,2,3,4,5$$.