Упр.701 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Задача

1) корень(10)/(корень(корень(10) + 9) — 3) — корень(10)/(корень(корень(10) + 9) + 3);
2) (2 — корень(5))/(2 + корень(5)) + (2 + корень(5))/(2 — корень(5)). Последовательность (bn) задана формулой n-го члена bn = n^2 — 4. Является ли членом этой последовательности число:
1) 5; 2) 16; 3) 77?
В случае утвердительного ответа укажите номер этого члена.

Подробный ответ

Преобразуем выражение:
$$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{\sqrt{10}+9}-3}-\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{\sqrt{10}+9}+3}$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{\sqrt{10}\bigl(\sqrt{\sqrt{10}+9}+3\bigr)-\sqrt{10}\bigl(\sqrt{\sqrt{10}+9}-3\bigr)}{\bigl(\sqrt{\sqrt{10}+9}-3\bigr)\bigl(\sqrt{\sqrt{10}+9}+3\bigr)}$$
Числитель:
$$\sqrt{10}\sqrt{\sqrt{10}+9}+3\sqrt{10}-\sqrt{10}\sqrt{\sqrt{10}+9}+3\sqrt{10}=6\sqrt{10}.$$
Знаменатель:
$$(\sqrt{\sqrt{10}+9})^2-3^2=\sqrt{10}+9-9=\sqrt{10}.$$
Тогда
$$\frac{6\sqrt{10}}{\sqrt{10}}=6.$$
Значение выражения — рациональное число.
$$\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}+\frac{2+\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}}$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{(2-\sqrt{5})^2+(2+\sqrt{5})^2}{(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})}.$$
Числитель:
$$ (2-\sqrt{5})^2+(2+\sqrt{5})^2=(4-4\sqrt{5}+5)+(4+4\sqrt{5}+5)=18. $$
Знаменатель:
$$(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})=4-5=-1.$$
Тогда
$$\frac{18}{-1}=-18.$$
Значение выражения — рациональное число.
Для последовательности $$b_n=n^2-4$$ проверим заданные числа.
1) Число 5:
$$n^2-4=5,$$
$$n^2=9,$$
$$n=3.$$
Значит, число 5 является членом последовательности, его номер равен 3.
2) Число 16:
$$n^2-4=16,$$
$$n^2=20,$$
$$n=\sqrt{20}.$$
Число $$\sqrt{20}$$ не является целым, значит, число 16 не является членом последовательности.
3) Число 77:
$$n^2-4=77,$$
$$n^2=81,$$
$$n=9.$$
Значит, число 77 является членом последовательности, его номер равен 9.