Упр.701 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)
- Докажите, что значение выражения является рациональным числом:
1) $$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{\sqrt{10}+9}-3}-\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{\sqrt{10}+9}+3}$$;
2) $$\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}+\frac{2+\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}}$$. - Последовательность $$(b_n)$$ задана формулой n-го члена $$b_n=n^2-4$$. Является ли членом этой последовательности число:
1) $$5$$;
2) $$16$$;
3) $$77$$?
В случае утвердительного ответа укажите номер этого члена.
Преобразуем выражение:
$$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{\sqrt{10}+9}-3}-\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{\sqrt{10}+9}+3}$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{\sqrt{10}\bigl(\sqrt{\sqrt{10}+9}+3\bigr)-\sqrt{10}\bigl(\sqrt{\sqrt{10}+9}-3\bigr)}{\bigl(\sqrt{\sqrt{10}+9}-3\bigr)\bigl(\sqrt{\sqrt{10}+9}+3\bigr)}$$Числитель:
$$\sqrt{10}\sqrt{\sqrt{10}+9}+3\sqrt{10}-\sqrt{10}\sqrt{\sqrt{10}+9}+3\sqrt{10}=6\sqrt{10}.$$Знаменатель:
$$(\sqrt{\sqrt{10}+9})^2-3^2=\sqrt{10}+9-9=\sqrt{10}.$$Тогда
$$\frac{6\sqrt{10}}{\sqrt{10}}=6.$$
Значение выражения — рациональное число.$$\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}+\frac{2+\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}}$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{(2-\sqrt{5})^2+(2+\sqrt{5})^2}{(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})}.$$Числитель:
$$(2-\sqrt{5})^2+(2+\sqrt{5})^2=(4-4\sqrt{5}+5)+(4+4\sqrt{5}+5)=18.$$Знаменатель:
$$(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})=4-5=-1.$$Тогда
$$\frac{18}{-1}=-18.$$
Значение выражения — рациональное число.Для последовательности $$b_n=n^2-4$$ проверим заданные числа.
1) Число 5:
$$n^2-4=5,$$
$$n^2=9,$$
$$n=3.$$
Значит, число 5 является членом последовательности, его номер равен 3.2) Число 16:
$$n^2-4=16,$$
$$n^2=20,$$
$$n=\sqrt{20}.$$
Число $$\sqrt{20}$$ не является целым, значит, число 16 не является членом последовательности.3) Число 77:
$$n^2-4=77,$$
$$n^2=81,$$
$$n=9.$$
Значит, число 77 является членом последовательности, его номер равен 9.
Ответ
1) $$6$$; 2) $$-18$$; 3) 5 — да, номер 3; 16 — нет; 77 — да, номер 9.
