Упр.700 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

(2b/(b^3 + 1) / (1 — b)/(b^2 — b + 1) + 2/(b — 1)) * (b^2 — 2b + 1)/4 / (b — 1)/(b + 1) = 1/2. Последовательность (an) задана формулой n-го члена аn = 7n + 2. Является ли членом этой последовательности число:
1) 23; 2) 149; 3) 47?
В случае утвердительного ответа укажите номер этого члена.

1) Докажем тождество:

$$ \left(\frac{2b}{b^3+1}:\frac{1-b}{b^2-b+1}+\frac{2}{b-1}\right)\cdot \frac{b^2-2b+1}{4}:\frac{b-1}{b+1}=\frac12. $$

Разложим на множители:

$$ b^3+1=(b+1)(b^2-b+1), \qquad b^2-2b+1=(b-1)^2. $$

Тогда

$$ \frac{2b}{b^3+1}:\frac{1-b}{b^2-b+1} = \frac{2b}{(b+1)(b^2-b+1)}\cdot \frac{b^2-b+1}{1-b} = \frac{2b}{(b+1)(1-b)}. $$

Следовательно,

$$ \left(\frac{2b}{(b+1)(1-b)}+\frac{2}{b-1}\right)\cdot \frac{(b-1)^2}{4}:\frac{b-1}{b+1}. $$

Так как $$\frac{2}{b-1}=-\frac{2}{1-b},$$ получаем

$$ \frac{2b}{(b+1)(1-b)}-\frac{2}{1-b} = \frac{2b-2(b+1)}{(b+1)(1-b)} = -\frac{2}{(b+1)(1-b)}. $$

Тогда

$$ -\frac{2}{(b+1)(1-b)}\cdot \frac{(b-1)^2}{4}\cdot \frac{b+1}{b-1} = -\frac{2}{1-b}\cdot \frac{b-1}{4} = \frac12. $$

Тождество доказано.

2) Для последовательности $$a_n=7n+2$$ проверим данные числа.

$$ 23=7n+2 \Rightarrow 7n=21 \Rightarrow n=3. $$

Число 23 является членом последовательности, его номер $$3$$.

$$ 149=7n+2 \Rightarrow 7n=147 \Rightarrow n=21. $$

Число 149 является членом последовательности, его номер $$21$$.

$$ 47=7n+2 \Rightarrow 7n=45 \Rightarrow n=\frac{45}{7}. $$

Так как $$n$$ не является целым числом, число 47 не является членом последовательности.

Ответ

1) Тождество верно. 2) 23 — да, $$n=3$$; 149 — да, $$n=21$$; 47 — нет.