Упр.700 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. Докажите тождество: $$\left(\frac{2b}{b^3+1}:\frac{1-b}{b^2-b+1}+\frac{2}{b-1}\right)\cdot\frac{b^2-2b+1}{4}:\frac{b-1}{b+1}=\frac{1}{2}.$$
2. Последовательность $$\left(a_n\right)$$ задана формулой n-го члена $$a_n=7n+2.$$ Является ли членом этой последовательности число: 1) $$23$$; 2) $$149$$; 3) $$47$$? В случае утвердительного ответа укажите номер этого члена.

1) Докажем тождество:

$$\left(\frac{2b}{b^3+1}:\frac{1-b}{b^2-b+1}+\frac{2}{b-1}\right)\cdot \frac{b^2-2b+1}{4}:\frac{b-1}{b+1}=\frac12.$$

Разложим на множители:

$$b^3+1=(b+1)(b^2-b+1), \qquad b^2-2b+1=(b-1)^2.$$

Тогда

$$\frac{2b}{b^3+1}:\frac{1-b}{b^2-b+1} = \frac{2b}{(b+1)(b^2-b+1)}\cdot \frac{b^2-b+1}{1-b} = \frac{2b}{(b+1)(1-b)}.$$

Следовательно,

$$\left(\frac{2b}{(b+1)(1-b)}+\frac{2}{b-1}\right)\cdot \frac{(b-1)^2}{4}:\frac{b-1}{b+1}.$$

Так как $$\frac{2}{b-1}=-\frac{2}{1-b},$$ получаем

$$\frac{2b}{(b+1)(1-b)}-\frac{2}{1-b} = \frac{2b-2(b+1)}{(b+1)(1-b)} = -\frac{2}{(b+1)(1-b)}.$$

Тогда

$$-\frac{2}{(b+1)(1-b)}\cdot \frac{(b-1)^2}{4}\cdot \frac{b+1}{b-1} = -\frac{2}{1-b}\cdot \frac{b-1}{4} = \frac12.$$

Тождество доказано.

2) Для последовательности $$a_n=7n+2$$ проверим данные числа.

$$23=7n+2 \Rightarrow 7n=21 \Rightarrow n=3.$$

Число 23 является членом последовательности, его номер $$3$$.

$$149=7n+2 \Rightarrow 7n=147 \Rightarrow n=21.$$

Число 149 является членом последовательности, его номер $$21$$.

$$47=7n+2 \Rightarrow 7n=45 \Rightarrow n=\frac{45}{7}.$$

Так как $$n$$ не является целым числом, число 47 не является членом последовательности.

Ответ

1) Тождество верно. 2) 23 — да, $$n=3$$; 149 — да, $$n=21$$; 47 — нет.