Упр.697 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Если к этим числам прибавить соответственно 1, 6 и 3, то полученные числа образуют арифметическую прогрессию. Найдите данные числа. Последовательность (xn) задана формулой n-го члена xn = 3n + 1. Найдите:
1) x1;
2) x7;
3) x20;
4) x300;
5) x(k + 1).

Обозначим три числа геометрической прогрессии через $$b_1,\; b_2,\; b_3,$$ где $$b_2=b_1q,\quad b_3=b_1q^2.$$ Тогда по условию

$$b_1+b_2+b_3=26,$$

то есть

$$b_1(1+q+q^2)=26.$$

После прибавления чисел $$1,\;6,\;3$$ получаем арифметическую прогрессию:

$$b_1+1,\; b_2+6,\; b_3+3.$$

Для арифметической прогрессии средний член равен среднему арифметическому соседних:

$$2(b_2+6)=(b_1+1)+(b_3+3).$$

Подставим $$b_2=b_1q,\; b_3=b_1q^2$$:

$$2(b_1q+6)=b_1+1+b_1q^2+3,$$

$$2b_1q+12=b_1(1+q^2)+4.$$

Вычтем из этого равенства уравнение $$b_1(1+q+q^2)=26$$:

$$2b_1q+12-b_1(1+q+q^2)=4-26,$$

$$b_1(2q-1-q-q^2)=-22,$$

$$b_1(q-q^2-1)=-22.$$

Удобнее воспользоваться преобразованием из системы:

$$2(b_1q+6)=b_1+1+b_1q^2+3$$

$$2b_1q+12=b_1+b_1q^2+4$$

$$2b_1q+8=b_1+b_1q^2$$

$$b_1(2q-1-q^2)= -8.$$

Так как $$b_1(1+q+q^2)=26,$$ то после подстановки $$b_1=\dfrac{6}{q}$$ получаем

$$\frac{6}{q}(1+q+q^2)=26,$$

$$6+6q+6q^2=26q,$$

$$3q^2-10q+3=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=10^2-4\cdot 3\cdot 3=100-36=64,$$

$$q=\frac{10\pm 8}{6}.$$

Тогда

$$q_1=3,\quad q_2=\frac13.$$

Найдём числа прогрессии.

При $$q=3$$:

$$b_1=\frac{6}{3}=2,\quad b_2=2\cdot 3=6,\quad b_3=2\cdot 3^2=18.$$

При $$q=\frac13$$:

$$b_1=\frac{6}{1/3}=18,\quad b_2=18\cdot \frac13=6,\quad b_3=18\cdot \left(\frac13\right)^2=2.$$

Следовательно, искомые числа: $$2,\;6,\;18$$ или $$18,\;6,\;2.$$

Для последовательности $$x_n=3n+1$$ подставим нужные значения:

$$x_1=3\cdot 1+1=4,$$

$$x_7=3\cdot 7+1=22,$$

$$x_{20}=3\cdot 20+1=61,$$

$$x_{300}=3\cdot 300+1=901,$$

$$x_{k+1}=3(k+1)+1=3k+4.$$

Ответ

$$2,\;6,\;18$$ или $$18,\;6,\;2$$; $$4$$; $$22$$; $$61$$; $$901$$; $$3k+4$$.