Упр.696 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)
Если из первого из этих чисел вычесть 1, из третьего вычесть 19, а второе оставить без изменений, то полученные числа образуют арифметическую прогрессию. Найдите данные числа. Последовательность (cn) задана формулой n-го члена cn = (-1)^n * 5.
Найдите:
1) c1;
2) с8;
3) c2k;
4) c(2k + 1);
5) c(k + 2).
Пусть три числа геометрической прогрессии — это $$b_1,\; b_2,\; b_3,$$ где $$b_2=b_1q,\quad b_3=b_1q^2.$$
По условию:
$$b_1+b_2+b_3=65,$$
то есть
$$b_1(1+q+q^2)=65.$$
После изменений числа $$b_1-1,\; b_2,\; b_3-19$$ образуют арифметическую прогрессию, значит средний член равен полусумме крайних:
$$2b_2=(b_1-1)+(b_3-19).$$
Подставим $$b_2=b_1q,\; b_3=b_1q^2$$:
$$2b_1q=b_1-1+b_1q^2-19,$$
$$2b_1q=b_1+b_1q^2-20.$$
Перенесём:
$$b_1(1+q+q^2)=65,$$
$$b_1(2q-1-q^2)=-20.$$
Удобнее воспользоваться равенством
$$2b_1q=b_1+b_1q^2-20,$$
и, вычитая его из первого уравнения, получаем:
$$b_1(1+q+q^2)-2b_1q=65-20,$$
$$b_1(1-q)^2=45.$$
Из системы получается:
$$b_1q=15.$$
Тогда
$$b_1=\frac{15}{q}.$$
Подставим в уравнение суммы:
$$\frac{15}{q}(1+q+q^2)=65,$$
$$15+15q+15q^2=65q,$$
$$3q^2-10q+3=0.$$
Решим квадратное уравнение:
$$D=(-10)^2-4\cdot 3\cdot 3=100-36=64,$$
$$q=\frac{10\pm 8}{6}.$$
Получаем:
$$q_1=3,\quad q_2=\frac13.$$
Если $$q=3,$$ то
$$b_1=\frac{15}{3}=5,\quad b_2=15,\quad b_3=45.$$
Если $$q=\frac13,$$ то
$$b_1=45,\quad b_2=15,\quad b_3=5.$$
Дана формула:
$$c_n=(-1)^n\cdot 5.$$
Тогда:
$$c_1=(-1)^1\cdot 5=-5,$$
$$c_8=(-1)^8\cdot 5=5,$$
$$c_{2k}=(-1)^{2k}\cdot 5=5,$$
$$c_{2k+1}=(-1)^{2k+1}\cdot 5=-5,$$
$$c_{k+2}=(-1)^{k+2}\cdot 5=(-1)^k\cdot 5.$$
Ответ
1) $$5,\;15,\;45$$ или $$45,\;15,\;5$$;
2) $$c_1=-5,$$ $$c_8=5,$$ $$c_{2k}=5,$$ $$c_{2k+1}=-5,$$ $$c_{k+2}=(-1)^k\cdot 5.$$
