Упр.695 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Задача

Если из первого числа вычесть 5, из второго вычесть 4, а третье оставить без изменений, то полученные числа образуют геометрическую прогрессию. Найдите данные числа. Найдите второй, седьмой и сотый члены последовательности (bn), заданной формулой n-го члена:
1) bn = 10/n;
2) bn = 5 — 2n;
3) bn = n^2 + 2n;
4) bn = (-1)^(n + 1).

Подробный ответ

Пусть три числа арифметической прогрессии равны $$a-d,\ a,\ a+d.$$ Тогда по условию

$$ (a-d)+a+(a+d)=30, $$

откуда

$$ 3a=30,\quad a=10. $$

После изменений получаем числа $$a-d-5,\ a-4,\ a+d.$$ Они образуют геометрическую прогрессию, значит квадрат среднего члена равен произведению крайних:

$$ (a-4)^2=(a-d-5)(a+d). $$

Подставим $$a=10$$:

$$ 6^2=(5-d)(10+d). $$

$$ 36=50+5d-10d-d^2, $$

$$ d^2+5d-14=0. $$

$$ D=5^2-4\cdot 1\cdot(-14)=25+56=81, $$

$$ d=\frac{-5\pm 9}{2}. $$

Получаем:

$$ d=2 \quad \text{или} \quad d=-7. $$

Тогда числа прогрессии:

при $$d=2$$: $$8,\ 10,\ 12$$;

при $$d=-7$$: $$17,\ 10,\ 3$$.

Теперь найдём указанные члены последовательностей.

Если $$b_n=\frac{10}{n},$$ то
$$ b_2=\frac{10}{2}=5,\quad b_7=\frac{10}{7},\quad b_{100}=\frac{10}{100}=0{,}1. $$
Если $$b_n=5-2n,$$ то
$$ b_2=5-2\cdot 2=1,\quad b_7=5-2\cdot 7=-9,\quad b_{100}=5-2\cdot 100=-195. $$
Если $$b_n=n^2+2n,$$ то
$$ b_2=2^2+2\cdot 2=8,\quad b_7=7^2+2\cdot 7=63,\quad b_{100}=100^2+2\cdot 100=10200. $$
Если $$b_n=(-1)^{n+1},$$ то
$$ b_2=(-1)^3=-1,\quad b_7=(-1)^8=1,\quad b_{100}=(-1)^{101}=-1. $$