Упр.694 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Задача

Если к этим числам прибавить соответственно 2, 3 и 9, то полученные числа образуют геометрическую прогрессию. Найдите данные числа. Найдите четыре первых члена последовательности (an), заданной формулой n-го члена:
1) an = n + 4;
2) an = 4n — 3;
3) an = n/(n^2 + 1);
4) an = 2^n/n.

Подробный ответ

Пусть три положительных числа, образующие арифметическую прогрессию, равны $$a-d,\ a,\ a+d.$$

По условию их сумма равна $$21,$$ значит

$$ (a-d)+a+(a+d)=21 $$

$$ 3a=21,\quad a=7. $$

После прибавления соответственно $$2,\ 3,\ 9$$ получаем числа

$$ 9-d,\ 10,\ 16+d. $$

Так как они образуют геометрическую прогрессию, то квадрат среднего члена равен произведению крайних:

$$ 10^2=(9-d)(16+d). $$

$$ 100=144-7d-d^2 $$

$$ d^2+7d-44=0. $$

Решим квадратное уравнение:

$$ D=7^2-4\cdot 1\cdot(-44)=49+176=225, $$

$$ d=\frac{-7\pm 15}{2}. $$

Получаем:

$$ d_1=4,\quad d_2=-11. $$

При $$d=4$$ числа равны

$$ 7-4=3,\quad 7,\quad 7+4=11. $$

При $$d=-11$$ получаем числа $$18,\ 7,\ -4,$$ но по условию все числа положительные, поэтому этот вариант не подходит.

Значит, искомые числа: $$3,\ 7,\ 11.$$

Теперь найдём четыре первых члена последовательностей.

$$a_n=n+4$$
$$ a_1=1+4=5,\quad a_2=2+4=6,\quad a_3=3+4=7,\quad a_4=4+4=8. $$
$$a_n=4n-3$$
$$ a_1=4\cdot 1-3=1,\quad a_2=4\cdot 2-3=5,\quad a_3=4\cdot 3-3=9,\quad a_4=4\cdot 4-3=13. $$
$$a_n=\frac{n}{n^2+1}$$
$$ a_1=\frac{1}{1^2+1}=\frac12,\quad a_2=\frac{2}{2^2+1}=\frac25,\quad a_3=\frac{3}{3^2+1}=\frac3{10},\quad a_4=\frac{4}{4^2+1}=\frac4{17}. $$
$$a_n=\frac{2^n}{n}$$
$$ a_1=\frac{2^1}{1}=2,\quad a_2=\frac{2^2}{2}=2,\quad a_3=\frac{2^3}{3}=\frac83,\quad a_4=\frac{2^4}{4}=4. $$