Упр.694 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. Сумма трёх положительных чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна $$21$$. Если к этим числам прибавить соответственно $$2$$, $$3$$ и $$9$$, то полученные числа образуют геометрическую прогрессию. Найдите данные числа.
2. Найдите четыре первых члена последовательности $$(a_n)$$, заданной формулой $$n$$-го члена: 1) $$a_n=n+4$$; 2) $$a_n=4n-3$$; 3) $$a_n=\frac{n}{n^2+1}$$; 4) $$a_n=\frac{2^n}{n}$$.

Пусть три положительных числа, образующие арифметическую прогрессию, равны $$a-d,\ a,\ a+d.$$

По условию их сумма равна $$21,$$ значит

$$(a-d)+a+(a+d)=21$$

$$3a=21,\quad a=7.$$

После прибавления соответственно $$2,\ 3,\ 9$$ получаем числа

$$9-d,\ 10,\ 16+d.$$

Так как они образуют геометрическую прогрессию, то квадрат среднего члена равен произведению крайних:

$$10^2=(9-d)(16+d).$$

$$100=144-7d-d^2$$

$$d^2+7d-44=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=7^2-4\cdot 1\cdot(-44)=49+176=225,$$

$$d=\frac{-7\pm 15}{2}.$$

Получаем:

$$d_1=4,\quad d_2=-11.$$

При $$d=4$$ числа равны

$$7-4=3,\quad 7,\quad 7+4=11.$$

При $$d=-11$$ получаем числа $$18,\ 7,\ -4,$$ но по условию все числа положительные, поэтому этот вариант не подходит.

Значит, искомые числа: $$3,\ 7,\ 11.$$

Теперь найдём четыре первых члена последовательностей.

1. $$a_n=n+4$$

   $$a_1=1+4=5,\quad a_2=2+4=6,\quad a_3=3+4=7,\quad a_4=4+4=8.$$

2. $$a_n=4n-3$$

   $$a_1=4\cdot 1-3=1,\quad a_2=4\cdot 2-3=5,\quad a_3=4\cdot 3-3=9,\quad a_4=4\cdot 4-3=13.$$

3. $$a_n=\frac{n}{n^2+1}$$

   $$a_1=\frac{1}{1^2+1}=\frac12,\quad a_2=\frac{2}{2^2+1}=\frac25,\quad a_3=\frac{3}{3^2+1}=\frac3{10},\quad a_4=\frac{4}{4^2+1}=\frac4{17}.$$

4. $$a_n=\frac{2^n}{n}$$

   $$a_1=\frac{2^1}{1}=2,\quad a_2=\frac{2^2}{2}=2,\quad a_3=\frac{2^3}{3}=\frac83,\quad a_4=\frac{2^4}{4}=4.$$

Ответ

$$3,\ 7,\ 11;$$

1) $$5,\ 6,\ 7,\ 8;$$ 2) $$1,\ 5,\ 9,\ 13;$$ 3) $$\frac12,\ \frac25,\ \frac3{10},\ \frac4{17};$$ 4) $$2,\ 2,\ \frac83,\ 4.$$