Упр.691 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Просвещение: При каком значении х значения выражений х + 6, х + 2 и Зх — 4 будут последовательными членами геометрической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии. Решите неравенство (х^2 + 1)(x^2 — х — 2) < 0.

1) Чтобы три последовательных члена геометрической прогрессии $$x+6,\; x+2,\; 3x-4$$ были именно членами геометрической прогрессии, должно выполняться свойство:

$$ (x+2)^2=(x+6)(3x-4) $$

Раскроем скобки:

$$ x^2+4x+4=3x^2+14x-24 $$

$$ 2x^2+10x-28=0 $$

$$ x^2+5x-14=0 $$

$$ (x+7)(x-2)=0 $$

Отсюда:

$$ x=-7 \quad \text{или} \quad x=2 $$

Найдём члены прогрессии.

При $$x=-7$$:

$$ x+6=-1,\quad x+2=-5,\quad 3x-4=-25 $$

При $$x=2$$:

$$ x+6=8,\quad x+2=4,\quad 3x-4=2 $$

2) Решим неравенство:

$$ (x^2+1)(x^2-x-2)<0 $$

Так как $$x^2+1>0$$ при любом $$x$$, знак произведения определяется вторым множителем:

$$ x^2-x-2<0 $$

Разложим на множители:

$$ (x-2)(x+1)<0 $$

Произведение отрицательно между корнями:

$$ -1<x<2 $$

Ответ

1) При $$x=-7$$: $$-1,\,-5,\,-25$$; при $$x=2$$: $$8,\,4,\,2$$.

2) $$x\in(-1;2)$$.