Упр.689 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Задача

1) b4 — b2 = 30 и b4 — b3 = 24;
2) b2 — b5 = 78 и b3 + b4 + b5 = -117. Решите систему уравнений:
1) система
2х — у = 13,
х^2 — у^2 = 23;
2) система
2х^2 — у^2 =23,
2х^2 + у^2 = 41.

Подробный ответ

Пусть $$b_1$$ — первый член, $$q$$ — знаменатель геометрической прогрессии. Тогда
$$b_2=b_1q,\quad b_3=b_1q^2,\quad b_4=b_1q^3,\quad b_5=b_1q^4.$$
1)
$$ \begin{aligned} b_4-b_2&=30,\\ b_4-b_3&=24. \end{aligned} $$
Подставим выражения через $$b_1$$ и $$q$$:
$$ \begin{aligned} b_1q^3-b_1q^2&=24,\\ b_1q^3-b_1q&=30. \end{aligned} $$
Вынесем общий множитель:
$$ \begin{aligned} b_1q^2(q-1)&=24,\\ b_1q(q-1)(q+1)&=30. \end{aligned} $$
Разделим второе уравнение на первое:
$$ \frac{q+1}{q}=\frac{30}{24}=\frac54. $$
Отсюда
$$ 4(q+1)=5q,\quad q=4. $$
Тогда из $$b_1q^2(q-1)=24$$ получаем
$$ b_1\cdot 16\cdot 3=24,\quad b_1=\frac12. $$
2)
$$ \begin{aligned} b_2-b_5&=78,\\ b_3+b_4+b_5&=-117. \end{aligned} $$
Подставим:
$$ \begin{aligned} b_1q-b_1q^4&=78,\\ b_1q^2+b_1q^3+b_1q^4&=-117. \end{aligned} $$
Вынесем общий множитель:
$$ \begin{aligned} b_1q(1-q^3)&=78,\\ b_1q^2(1+q+q^2)&=-117. \end{aligned} $$
Разделим первое уравнение на второе:
$$ \frac{1-q^3}{q(1+q+q^2)}=\frac{78}{-117}=-\frac23. $$
Так как $$1-q^3=(1-q)(1+q+q^2)$$, то
$$ \frac{1-q}{q}=-\frac23. $$
Решаем:
$$ 3(1-q)=-2q,\quad 3-3q=-2q,\quad q=3. $$
Подставим в первое уравнение:
$$ b_1\cdot 3\cdot (1-3^3)=78, $$
$$ b_1\cdot 3\cdot (-26)=78,\quad b_1=-1. $$
1)
$$ \begin{aligned} 2x-y&=13,\\ x^2-y^2&=23. \end{aligned} $$
Из первого уравнения:
$$y=2x-13.$$
Подставим во второе:
$$ x^2-(2x-13)^2=23. $$
$$ x^2-4x^2+52x-169=23 $$
$$ -3x^2+52x-192=0. $$
Найдём корни:
$$ D=52^2-4\cdot(-3)\cdot(-192)=2704-2304=400. $$
$$ x=\frac{52\pm 20}{6}. $$
Тогда
$$ x_1=\frac{16}{3},\quad x_2=12. $$
Найдём соответствующие значения $$y$$:
$$ y_1=2\cdot \frac{16}{3}-13=-\frac73,\quad y_2=2\cdot 12-13=11. $$
2)
$$ \begin{aligned} 2x^2-y^2&=23,\\ 2x^2+y^2&=41. \end{aligned} $$
Сложим уравнения:
$$ 4x^2=64,\quad x^2=16,\quad x=\pm 4. $$
Подставим в первое уравнение:
$$ 2\cdot 16-y^2=23,\quad y^2=9,\quad y=\pm 3. $$
Проверка показывает, что подходят все сочетания знаков:
$$(-4,-3),\ (4,3),\ (-4,3),\ (4,-3).$$