Упр.689 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии $$(b_n)$$, если:
   1) $$b_4-b_2=30$$ и $$b_4-b_3=24$$;
   2) $$b_2-b_5=78$$ и $$b_3+b_4+b_5=-117$$.
2. Решите систему уравнений:
   1) $$\begin{cases}2x-y=13,\\x^2-y^2=23;\end{cases}$$
   2) $$\begin{cases}2x^2-y^2=23,\\2x^2+y^2=41.\end{cases}$$

1. Пусть $$b_1$$ — первый член, $$q$$ — знаменатель геометрической прогрессии. Тогда

   $$b_2=b_1q,\quad b_3=b_1q^2,\quad b_4=b_1q^3,\quad b_5=b_1q^4.$$

   1)

   $$\begin{aligned} b_4-b_2&=30,\\ b_4-b_3&=24. \end{aligned}$$

   Подставим выражения через $$b_1$$ и $$q$$:

   $$\begin{aligned} b_1q^3-b_1q^2&=24,\\ b_1q^3-b_1q&=30. \end{aligned}$$

   Вынесем общий множитель:

   $$\begin{aligned} b_1q^2(q-1)&=24,\\ b_1q(q-1)(q+1)&=30. \end{aligned}$$

   Разделим второе уравнение на первое:

   $$\frac{q+1}{q}=\frac{30}{24}=\frac54.$$

   Отсюда

   $$4(q+1)=5q,\quad q=4.$$

   Тогда из $$b_1q^2(q-1)=24$$ получаем

   $$b_1\cdot 16\cdot 3=24,\quad b_1=\frac12.$$

   2)

   $$\begin{aligned} b_2-b_5&=78,\\ b_3+b_4+b_5&=-117. \end{aligned}$$

   Подставим:

   $$\begin{aligned} b_1q-b_1q^4&=78,\\ b_1q^2+b_1q^3+b_1q^4&=-117. \end{aligned}$$

   Вынесем общий множитель:

   $$\begin{aligned} b_1q(1-q^3)&=78,\\ b_1q^2(1+q+q^2)&=-117. \end{aligned}$$

   Разделим первое уравнение на второе:

   $$\frac{1-q^3}{q(1+q+q^2)}=\frac{78}{-117}=-\frac23.$$

   Так как $$1-q^3=(1-q)(1+q+q^2)$$, то

   $$\frac{1-q}{q}=-\frac23.$$

   Решаем:

   $$3(1-q)=-2q,\quad 3-3q=-2q,\quad q=3.$$

   Подставим в первое уравнение:

   $$b_1\cdot 3\cdot (1-3^3)=78,$$

   $$b_1\cdot 3\cdot (-26)=78,\quad b_1=-1.$$

2. 1)

   $$\begin{aligned} 2x-y&=13,\\ x^2-y^2&=23. \end{aligned}$$

   Из первого уравнения:

   $$y=2x-13.$$

   Подставим во второе:

   $$x^2-(2x-13)^2=23.$$

   $$x^2-4x^2+52x-169=23$$

   $$-3x^2+52x-192=0.$$

   Найдём корни:

   $$D=52^2-4\cdot(-3)\cdot(-192)=2704-2304=400.$$

   $$x=\frac{52\pm 20}{6}.$$

   Тогда

   $$x_1=\frac{16}{3},\quad x_2=12.$$

   Найдём соответствующие значения $$y$$:

   $$y_1=2\cdot \frac{16}{3}-13=-\frac73,\quad y_2=2\cdot 12-13=11.$$

   2)

   $$\begin{aligned} 2x^2-y^2&=23,\\ 2x^2+y^2&=41. \end{aligned}$$

   Сложим уравнения:

   $$4x^2=64,\quad x^2=16,\quad x=\pm 4.$$

   Подставим в первое уравнение:

   $$2\cdot 16-y^2=23,\quad y^2=9,\quad y=\pm 3.$$

   Проверка показывает, что подходят все сочетания знаков:

   $$(-4,-3),\ (4,3),\ (-4,3),\ (4,-3).$$

Ответ

1) $$b_1=\frac12,\ q=4;\quad b_1=-1,\ q=3.$$

2) $$\left(\frac{16}{3};-\frac73\right),\ (12;11).$$

3) $$\left(\frac{16}{3};11\right),\ (12;-\frac73\right).$$

4) $$(-4,-3),\ (4,3),\ (-4,3),\ (4,-3).$$