Упр.688 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)
1) b5 = 3b3 и b6 — b2 = 48;
2) b4 + b7 = 56/9 и b5 — b6 + b7 = 14/9;
3) b5 — b4 = 168 и b3 + b4 = -28. Сократите дробь:
1) (9х^2 — 1)/(3х^2 — 4х + 1);
2) (2х^2 — 5x + 3)/(4х^2 — 12х + 9).
Для геометрической прогрессии $$b_n=b_1q^{n-1}$$.
Из условий получаем систему:
$$b_5=3b_3,\quad b_6-b_2=48$$
$$b_1q^4=3b_1q^2$$
$$q^2=3,\quad q=\pm\sqrt{3}$$
$$b_1q^5-b_1q=48$$
$$b_1q(q^4-1)=48$$
При $$q=\sqrt{3}$$:
$$b_1\sqrt{3}(9-1)=48,$$
$$b_1=2\sqrt{3}.$$При $$q=-\sqrt{3}$$:
$$b_1(-\sqrt{3})(9-1)=48,$$
$$b_1=-2\sqrt{3}.$$Из условий:
$$b_4+b_7=\frac{56}{9},\quad b_5-b_6+b_7=\frac{14}{9}$$
$$b_1q^3+b_1q^6=\frac{56}{9}$$
$$b_1q^4-b_1q^5+b_1q^6=\frac{14}{9}$$
Делим второе уравнение на первое:
$$\frac{q(1-q+q^2)}{1+q^3}=\frac14.$$Так как $$1+q^3=(1+q)(1-q+q^2)$$, то
$$\frac{q}{1+q}=\frac14,$$
откуда
$$4q=1+q,\quad 3q=1,\quad q=\frac13.$$Подставим в первое уравнение:
$$b_1\left(\frac13\right)^3\left(1+\left(\frac13\right)^3\right)=\frac{56}{9}.$$$$b_1\cdot \frac{1}{27}\cdot \frac{28}{27}=\frac{56}{9},\quad b_1=162.$$
Из условий:
$$b_5-b_4=168,\quad b_3+b_4=-28$$
$$b_1q^4-b_1q^3=168$$
$$b_1q^3(q-1)=168$$
$$b_1q^2+b_1q^3=-28$$
$$b_1q^2(1+q)=-28$$
Выразим $$b_1$$ из первого уравнения и подставим во второе:
$$b_1=\frac{168}{q^3(q-1)}.$$Тогда
$$\frac{168}{q^3(q-1)}\cdot q^2(1+q)=-28,$$
$$6(1+q)=-q(q-1),$$
$$q^2+5q+6=0,$$
$$(q+2)(q+3)=0.$$Значит, $$q=-2$$ или $$q=-3$$.
При $$q=-2$$:
$$b_1=\frac{168}{(-2)^3(-2-1)}=7.$$При $$q=-3$$:
$$b_1=\frac{168}{(-3)^3(-3-1)}=\frac{14}{9}.$$Сократим дроби:
$$\frac{9x^2-1}{3x^2-4x+1}=\frac{(3x-1)(3x+1)}{(3x-1)(x-1)}=\frac{3x+1}{x-1}.$$
$$\frac{2x^2-5x+3}{4x^2-12x+9}=\frac{(2x-3)(x-1)}{(2x-3)^2}=\frac{x-1}{2x-3}.$$
Ответ
1) $$b_1=2\sqrt{3},\ q=\sqrt{3}$$ или $$b_1=-2\sqrt{3},\ q=-\sqrt{3}$$;
2) $$b_1=162,\ q=\frac13$$;
3) $$b_1=7,\ q=-2$$ или $$b_1=\frac{14}{9},\ q=-3$$;
4) $$\frac{3x+1}{x-1}$$;
5) $$\frac{x-1}{2x-3}$$.
