Упр.687 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. Между числами 6 и 486 вставьте три таких числа, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию.
2. Упростите выражение $$\frac{\frac{a+1}{a-1}-\frac{a}{a+1}}{\frac{3a+1}{a^2+a}}$$.

1. Пусть искомая геометрическая прогрессия имеет вид $$6,\; b_2,\; b_3,\; b_4,\; 486.$$
   Тогда
   $$b_5=b_1q^4,$$
   откуда
   $$486=6q^4,$$
   $$q^4=81,$$
   $$q=\pm 3.$$
2. Найдём вставленные числа.
   При $$q=3$$:
   $$b_2=6\cdot 3=18,$$
   $$b_3=18\cdot 3=54,$$
   $$b_4=54\cdot 3=162.$$
   При $$q=-3$$:
   $$b_2=6\cdot(-3)=-18,$$
   $$b_3=-18\cdot(-3)=54,$$
   $$b_4=54\cdot(-3)=-162.$$
3. Упростим выражение:
   $$\left(\frac{a+1}{a-1}-\frac{a}{a+1}\right):\frac{3a+1}{a^2+a}.$$
   Приведём дроби в скобках к общему знаменателю:
   $$\frac{a+1}{a-1}-\frac{a}{a+1} =\frac{(a+1)^2-a(a-1)}{(a-1)(a+1)} =\frac{a^2+2a+1-a^2+a}{(a-1)(a+1)} =\frac{3a+1}{(a-1)(a+1)}.$$
   Тогда
   $$\left(\frac{3a+1}{(a-1)(a+1)}\right):\frac{3a+1}{a^2+a} =\frac{3a+1}{(a-1)(a+1)}\cdot\frac{a^2+a}{3a+1}.$$
   Так как $$a^2+a=a(a+1),$$ получаем
   $$\frac{3a+1}{(a-1)(a+1)}\cdot\frac{a(a+1)}{3a+1} =\frac{a}{a-1}.$$

Ответ

$$-18,\;54,\;-162$$ или $$18,\;54,\;162$$; $$\frac{a}{a-1}$$.