Упр.684 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)
Является ли геометрической прогрессией последовательность:
1) b1, b3, …, b(2n — 1);
2) 2b1, 2b2, …, 2bn;
3) b1 + b2, b2 + b3, …, b(n — 1) + bn;
4) 1/b1, 1/b2, …, 1/bn?
В случае утвердительного ответа укажите знаменатель прогрессии. Директор фирмы получает 120 000 р. в месяц, два его заместителя по 80 000 р., а остальные 17 работников фирмы — по 20 000 р. в месяц.
Найдите среднее значение, моду, медиану заработной платы в этой фирме.
Пусть $$b_n$$ — геометрическая прогрессия со знаменателем $$q$$, то есть $$b_{n+1}=b_nq$$.
Рассмотрим последовательность $$b_1,\, b_3,\, \ldots,\, b_{2n-1}$$.
Найдём отношение соседних членов:
$$\frac{b_{2k+1}}{b_{2k-1}}=\frac{b_1q^{2k}}{b_1q^{2k-2}}=q^2.$$
Значит, это геометрическая прогрессия со знаменателем $$q^2$$.
Для последовательности $$2b_1,\, 2b_2,\, \ldots,\, 2b_n$$:
$$\frac{2b_{k+1}}{2b_k}=\frac{b_{k+1}}{b_k}=q.$$
Значит, это геометрическая прогрессия со знаменателем $$q$$.
Рассмотрим последовательность $$b_1+b_2,\, b_2+b_3,\, \ldots,\, b_{n-1}+b_n$$.
Так как $$b_{k+1}=b_kq$$, то
$$b_k+b_{k+1}=b_k(1+q).$$
Тогда
$$\frac{b_{k+1}+b_{k+2}}{b_k+b_{k+1}}=\frac{b_{k+1}(1+q)}{b_k(1+q)}=\frac{b_{k+1}}{b_k}=q,$$
если $$q\neq -1$$. При $$q=-1$$ все члены равны нулю, и знаменатель прогрессии не определён.
Значит, при $$q\neq -1$$ это геометрическая прогрессия со знаменателем $$q$$.
Для последовательности $$\frac1{b_1},\, \frac1{b_2},\, \ldots,\, \frac1{b_n}$$:
$$\frac{\frac1{b_{k+1}}}{\frac1{b_k}}=\frac{b_k}{b_{k+1}}=\frac1q.$$
Значит, это геометрическая прогрессия со знаменателем $$\frac1q$$.
Теперь найдём среднее значение, моду и медиану зарплаты.
Всего работников:
$$17+2+1=20.$$
Сумма зарплат:
$$17\cdot 20000+2\cdot 80000+120000=340000+160000+120000=620000.$$
Среднее значение:
$$\overline{x}=\frac{620000}{20}=31000.$$
Чаще всего встречается зарплата $$20000$$ руб., значит мода равна $$20000$$ руб.
Если упорядочить зарплаты по возрастанию, то 10-й и 11-й элементы равны $$20000$$, значит медиана тоже равна $$20000$$ руб.
Ответ
1) да, знаменатель $$q^2$$; 2) да, знаменатель $$q$$; 3) да, при $$q\neq -1$$, знаменатель $$q$$; 4) да, знаменатель $$\frac1q$$; среднее значение $$31000$$ руб., мода $$20000$$ руб., медиана $$20000$$ руб.
