Упр.682 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Докажите, что периметры этих треугольников образуют геометрическую прогрессию, и запишите формулу n-го члена этой прогрессии. Во время тестирования по алгебре 25 учеников 9 класса сделали следующее количество ошибок:
4, 3, 3, 1, 3, 4, 4, 5, 3, 0, 1, 4, 4, 4, 5, 3, 5, 4, 0, 4, 1,4, 2, 2, 3.
1) Составьте частотную таблицу.
2) Найдите среднее значение и моду данной выборки.
3) Постройте соответствующую гистограмму.

1) В правильном треугольнике со стороной $$a$$ каждый следующий треугольник получается соединением середин сторон предыдущего. Значит, его сторона в 2 раза меньше предыдущей:

$$a_1=a,\quad a_2=\frac a2,\quad a_3=\frac a4,\ \ldots$$

Периметры этих треугольников равны:

$$P_1=3a,\quad P_2=3\cdot\frac a2,\quad P_3=3\cdot\frac a4,\ \ldots$$

Следовательно,

$$\frac{P_2}{P_1}=\frac{1}{2},\quad \frac{P_3}{P_2}=\frac{1}{2}.$$

Значит, периметры образуют геометрическую прогрессию с первым членом $$P_1=3a$$ и знаменателем $$q=\frac12$$.

Формула n-го члена:

$$P_n=P_1q^{\,n-1}=3a\left(\frac12\right)^{n-1}=\frac{3a}{2^{n-1}}.$$

2) Составим частотную таблицу для выборки:

$$4,\,3,\,3,\,1,\,3,\,4,\,4,\,5,\,3,\,0,\,1,\,4,\,4,\,4,\,5,\,3,\,5,\,4,\,0,\,4,\,1,\,4,\,2,\,2,\,3.$$

Найдём среднее значение:

$$\bar x=\frac{0\cdot2+1\cdot3+2\cdot2+3\cdot6+4\cdot9+5\cdot3}{25}=\frac{76}{25}=3{,}04.$$

Мода выборки — число, встречающееся чаще всего. Здесь это $$4$$.

3) Гистограмма строится по частотам: для значений $$0,1,2,3,4,5$$ высоты столбцов равны соответственно $$2,3,2,6,9,3$$.

Ответ

$$P_n=\frac{3a}{2^{n-1}}.$$

Частотная таблица: $$0-2,\ 1-3,\ 2-2,\ 3-6,\ 4-9,\ 5-3.$$

Среднее значение: $$3{,}04$$. Мода: $$4$$.