Упр.664 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. Докажите, что если последовательность $$(x_n)$$ — геометрическая прогрессия, то $$x_3x_{13}=x_5x_{11}$$.
2. Решите уравнение $$c\frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}+b\frac{(x-a)(x-c)}{(b-a)(b-c)}+a\frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}=x$$.

Пусть $$x_n=x_1q^{\,n-1}$$ — общий член геометрической прогрессии. Тогда

$$x_3=x_1q^2,\quad x_5=x_1q^4,\quad x_{11}=x_1q^{10},\quad x_{13}=x_1q^{12}.$$

Следовательно,

$$x_3x_{13}=x_1q^2\cdot x_1q^{12}=x_1^2q^{14},$$
$$x_5x_{11}=x_1q^4\cdot x_1q^{10}=x_1^2q^{14}.$$

Значит, $$x_3x_{13}=x_5x_{11}.$$

Теперь решим уравнение

$$\frac{c(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}+ \frac{b(x-a)(x-c)}{(b-a)(b-c)}+ \frac{a(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}=x.$$

Рассмотрим левую часть как функцию $$f(x)$$. Проверим её значения в точках $$a,b,c$$:

$$f(a)=a,\quad f(b)=b,\quad f(c)=c.$$

Кроме того, левая часть — многочлен степени не выше второй. Тогда разность

$$f(x)-x$$

— многочлен степени не выше второй, имеющий три корня $$x=a,\ x=b,\ x=c$$. Значит, он тождественно равен нулю:

$$f(x)-x\equiv 0.$$

Следовательно, уравнение верно при любом $$x$$.

Ответ

$$x_3x_{13}=x_5x_{11};\qquad x\in\mathbb{R}.$$