Упр.649 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. Найдите все пары $$(x; y)$$, удовлетворяющие уравнению $$\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}=x^2+y^2+2.$$
2. Карточки с номерами 1, 2, 3 произвольным образом разложили в ряд. Какова вероятность того, что карточки с нечётными номерами окажутся рядом?

Рассмотрим уравнение

$$\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}=x^2+y^2+2.$$

Так как для любого числа $$t$$ верно $$\sqrt{t^2+1}\le t^2+1,$$ то

$$\sqrt{x^2+1}\le x^2+1,\qquad \sqrt{y^2+1}\le y^2+1.$$

Складывая эти неравенства, получаем

$$\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}\le x^2+y^2+2.$$

По условию уравнения левая и правая части равны, значит, должно выполняться равенство в каждом из неравенств:

$$\sqrt{x^2+1}=x^2+1,\qquad \sqrt{y^2+1}=y^2+1.$$

Равенство $$\sqrt{t^2+1}=t^2+1$$ возможно только при $$t=0$$, поэтому

$$x=0,\qquad y=0.$$

Проверка:

$$\sqrt{0^2+1}+\sqrt{0^2+1}=1+1=2,$$

$$0^2+0^2+2=2.$$

Равенство верно.

Ответ

$$(0;\,0)$$