Упр.640 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии, у которой среднее арифметическое $$n$$ первых членов при любом $$n$$ равно их количеству.
2. В лотерее 20 выигрышных билетов и 280 билетов без выигрыша. Какова вероятность выиграть, купив один билет?

1) Пусть $$a_1$$ — первый член арифметической прогрессии, $$d$$ — её разность.

Сумма первых $$n$$ членов:

$$S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n.$$

По условию среднее арифметическое первых $$n$$ членов равно их количеству, то есть

$$\frac{S_n}{n}=n.$$

Тогда

$$\frac{2a_1+d(n-1)}{2}=n.$$

Умножим на $$2$$:

$$2a_1+d(n-1)=2n.$$

Раскроем скобки:

$$2a_1+dn-d=2n.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$2a_1- d + n(d-2)=0.$$

Это равенство должно выполняться при любом $$n$$, значит

$$d-2=0,\qquad 2a_1-d=0.$$

Отсюда

$$d=2,\qquad a_1=1.$$

2) Всего билетов:

$$20+280=300.$$

Вероятность выиграть при покупке одного билета:

$$P=\frac{20}{300}=\frac{1}{15}.$$

Ответ

$$a_1=1,\ d=2;\quad P=\frac{1}{15}.$$