Упр.639 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   1) $$11+19+27+\ldots+(8n+3)=470$$, где $$n$$ — натуральное число;
   2) $$1+5+9+\ldots+x=630$$, где $$x$$ — натуральное число.
2. В классе учится 12 девочек и 17 мальчиков. Один учащийся опоздал в школу. Все ученики имеют равные вероятности опоздать в школу. Какова вероятность того, что это:
   1) был мальчик;
   2) была девочка?

1. Первый член прогрессии $$a_1=11$$, последний член $$a_n=8n+3$$. Тогда сумма первых $$n$$ членов:

   $$\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n=470$$

   $$\frac{11+(8n+3)}{2}\cdot n=470$$

   $$\frac{8n+14}{2}\cdot n=470$$

   $$n(4n+7)=470$$

   $$4n^2+7n-470=0$$

   Найдём корни уравнения:

   $$D=7^2-4\cdot 4\cdot(-470)=49+7520=7569$$

   $$\sqrt{7569}=87$$

   $$n=\frac{-7\pm 87}{8}$$

   $$n_1=\frac{80}{8}=10,\qquad n_2=\frac{-94}{8}<0$$

   Так как $$n$$ — натуральное число, подходит только $$n=10$$.

2. Последний член прогрессии равен $$x$$, первый член $$a_1=1$$, разность $$d=4$$. Тогда

   $$x=1+4(n-1)=4n-3$$

   Сумма первых $$n$$ членов равна:

   $$\frac{1+x}{2}\cdot n=630$$

   $$\frac{1+(4n-3)}{2}\cdot n=630$$

   $$\frac{4n-2}{2}\cdot n=630$$

   $$n(2n-1)=630$$

   $$2n^2-n-630=0$$

   Найдём корни:

   $$D=1^2-4\cdot 2\cdot(-630)=1+5040=5041$$

   $$\sqrt{5041}=71$$

   $$n=\frac{1\pm 71}{4}$$

   $$n_1=\frac{72}{4}=18,\qquad n_2=\frac{-70}{4}<0$$

   Значит, $$n=18$$, тогда

   $$x=4\cdot 18-3=69$$

3. Всего учеников:

   $$12+17=29$$

   Вероятность того, что опоздал мальчик:

   $$P=\frac{17}{29}$$

   Вероятность того, что опоздала девочка:

   $$P=\frac{12}{29}$$

Ответ

1) $$n=10$$; 2) $$x=69$$; 3) $$\frac{17}{29}$$; 4) $$\frac{12}{29}$$.