Упр.638 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1) 7 + 13 + 19 + … + (6n + 1) = 480, где n — натуральное число;
2) 5 + 8 + 11 + … + х = 124, где х — натуральное число. Какова вероятность того, что имя ученицы вашего класса, которую вызовут к доске на уроке алгебры, — Екатерина?

1) Рассмотрим сумму членов арифметической прогрессии:

$$7+13+19+\dots+(6n+1)=480.$$

Здесь $$a_1=7$$, $$a_n=6n+1$$. Тогда

$$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n=480.$$

Подставим:

$$\frac{7+(6n+1)}{2}\cdot n=480,$$

$$\frac{6n+8}{2}\cdot n=480,$$

$$n(3n+4)=480,$$

$$3n^2+4n-480=0.$$

Найдём корни:

$$D=4^2-4\cdot 3\cdot(-480)=16+5760=5776,$$

$$\sqrt{5776}=76.$$

Тогда

$$n=\frac{-4\pm 76}{6}.$$

Получаем:

$$n_1=\frac{72}{6}=12,\qquad n_2=\frac{-80}{6}<0.$$

Так как $$n$$ — натуральное число, подходит только $$n=12$$.

2) Для суммы

$$5+8+11+\dots+x=124$$

имеем $$a_1=5$$, $$d=3$$, а последний член

$$x=a_n=5+3(n-1)=3n+2.$$

Тогда

$$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n=124,$$

$$\frac{5+(3n+2)}{2}\cdot n=124,$$

$$\frac{3n+7}{2}\cdot n=124,$$

$$3n^2+7n-248=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=7^2-4\cdot 3\cdot(-248)=49+2976=3025,$$

$$\sqrt{3025}=55.$$

Тогда

$$n=\frac{-7\pm 55}{6}.$$

Получаем:

$$n_1=\frac{48}{6}=8,\qquad n_2=\frac{-62}{6}<0.$$

Значит, $$n=8$$, и

$$x=3\cdot 8+2=26.$$

3) Вероятность того, что вызовут Екатерину, равна отношению числа учениц с этим именем к общему числу учениц класса:

$$P=\frac{m}{n}.$$

Если Екатерина в классе одна, а всего учениц 23, то

$$P=\frac{1}{23}.$$

Ответ

1) $$12$$; 2) $$26$$; 3) $$\frac{1}{23}$$.