Упр.633 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)
- Сумма первых $$6$$ членов арифметической прогрессии равна $$39$$, а сумма первых $$14$$ членов равна $$-77$$. Найдите первый член и разность прогрессии.
- Равновероятны ли события $$A$$ и $$B$$:
1) событие $$A$$: из $$15$$ бильярдных шаров с номерами от $$1$$ до $$15$$ взять наугад шар с номером $$1$$; событие $$B$$: из $$15$$ бильярдных шаров с номерами от $$1$$ до $$15$$ взять наугад шар с номером $$7$$;
2) событие $$A$$: из $$15$$ бильярдных шаров с номерами от $$1$$ до $$15$$ взять наугад шар с чётным номером; событие $$B$$: из $$15$$ бильярдных шаров с номерами от $$1$$ до $$15$$ взять наугад шар с нечётным номером?
Найдём первый член $$a_1$$ и разность $$d$$ арифметической прогрессии по формулам суммы первых $$n$$ членов:
$$S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n.$$
Из условия:
$$S_6=39,\quad S_{14}=-77.$$
Тогда
$$\frac{2a_1+5d}{2}\cdot 6=39,$$
откуда
$$2a_1+5d=13.$$
Аналогично:
$$\frac{2a_1+13d}{2}\cdot 14=-77,$$
откуда
$$2a_1+13d=-11.$$
Вычтем первое уравнение из второго:
$$(2a_1+13d)-(2a_1+5d)=-11-13$$
$$8d=-24,$$
$$d=-3.$$
Подставим в первое уравнение:
$$2a_1+5\cdot(-3)=13,$$
$$2a_1-15=13,$$
$$2a_1=28,$$
$$a_1=14.$$
Теперь проверим равновероятность событий.
1) Событие A: взять шар с номером 1. Вероятность:
$$P(A)=\frac{1}{15}.$$
Событие B: взять шар с номером 7. Вероятность:
$$P(B)=\frac{1}{15}.$$
Следовательно, события равновероятны.
2) Событие A: взять шар с чётным номером. Таких шаров $$7$$, значит
$$P(A)=\frac{7}{15}.$$
Событие B: взять шар с нечётным номером. Таких шаров $$8$$, значит
$$P(B)=\frac{8}{15}.$$
Следовательно, события неравновероятны.
Ответ
$$a_1=14,\quad d=-3.$$
1) Да. 2) Нет.
