Упр.624 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Просвещение: Найдите первый член арифметической прогрессии, разность которой равна -4, а сумма девяти первых членов составляет -54. Известно, что а + 3b = 10. Какое наименьшее значение может принимать выражение а^2 + b^2 и при каких значениях а и b?

Пусть $$a+3b=10.$$ Тогда $$a=10-3b.$$

Подставим это в выражение $$a^2+b^2$$:

$$ a^2+b^2=(10-3b)^2+b^2=100-60b+9b^2+b^2=10b^2-60b+100. $$

Это квадратный трёхчлен, ветви параболы направлены вверх, значит наименьшее значение достигается в вершине:

$$ b=\frac{-(-60)}{2\cdot 10}=3. $$

Тогда

$$ a=10-3\cdot 3=1. $$

Проверим:

$$ a^2+b^2=1^2+3^2=1+9=10. $$

Ответ

Наименьшее значение выражения $$a^2+b^2$$ равно $$10$$, при $$a=1$$ и $$b=3$$.