Упр.624 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. Найдите первый член арифметической прогрессии, разность которой равна $$-4$$, а сумма девяти первых членов составляет $$-54$$.
2. Известно, что $$a+3b=10$$. Какое наименьшее значение может принимать выражение $$a^2+b^2$$ и при каких значениях $$a$$ и $$b$$?

Пусть $$a+3b=10.$$ Тогда $$a=10-3b.$$

Подставим это в выражение $$a^2+b^2$$:

$$a^2+b^2=(10-3b)^2+b^2=100-60b+9b^2+b^2=10b^2-60b+100.$$

Это квадратный трёхчлен, ветви параболы направлены вверх, значит наименьшее значение достигается в вершине:

$$b=\frac{-(-60)}{2\cdot 10}=3.$$

Тогда

$$a=10-3\cdot 3=1.$$

Проверим:

$$a^2+b^2=1^2+3^2=1+9=10.$$

Ответ

Наименьшее значение выражения $$a^2+b^2$$ равно $$10$$, при $$a=1$$ и $$b=3$$.