Упр.612 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)
- Старинная египетская задача. Сто мер хлеба надо разделить на пять человек так, чтобы второй получил на столько же больше первого, на сколько третий получил больше второго, четвёртый больше третьего и пятый больше четвёртого. Кроме того, двое первых должны получить в $$7$$ раз меньше, чем трое последних. Сколько надо дать каждому?
- Оператор справочной службы в течение рабочего дня ($$9{:}00\text{—}17{:}00$$) разговаривает по телефону в среднем $$6\text{ ч}$$. Оцените вероятность того, что, если позвонить в справочную в это время, телефон окажется свободным.
Обозначим количество хлеба, которое получил первый человек, через $$a_1$$, а разность арифметической прогрессии — через $$d$$. Тогда
$$a_2=a_1+d,\quad a_3=a_1+2d,\quad a_4=a_1+3d,\quad a_5=a_1+4d.$$
По условию разность между соседними полученными количествами одинакова, а сумма первых двух в 7 раз меньше суммы последних трёх:
$$a_3+a_4+a_5=7(a_1+a_2),$$
$$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=100.$$
Подставим выражения через $$a_1$$ и $$d$$:
$$(a_1+2d)+(a_1+3d)+(a_1+4d)=7\bigl(a_1+(a_1+d)\bigr)$$
$$3a_1+9d=14a_1+7d$$
$$2d=11a_1.$$
Теперь используем сумму всех пяти чисел:
$$a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+(a_1+3d)+(a_1+4d)=100$$
$$5a_1+10d=100$$
$$a_1+2d=20.$$
Из системы
$$\begin{cases} 2d=11a_1,\\ a_1+2d=20 \end{cases}$$
получаем:
$$a_1+\;11a_1=20$$
$$12a_1=20,\quad a_1=\frac{5}{3}.$$
Тогда
$$d=\frac{11a_1}{2}=\frac{11}{2}\cdot\frac{5}{3}=\frac{55}{6}.$$
Найдём остальные члены прогрессии:
$$a_2=a_1+d=\frac{5}{3}+\frac{55}{6}=\frac{65}{6}=10\frac{5}{6},$$
$$a_3=a_2+d=\frac{65}{6}+\frac{55}{6}=20,$$
$$a_4=a_3+d=20+\frac{55}{6}=29\frac{1}{6},$$
$$a_5=a_4+d=29\frac{1}{6}+\frac{55}{6}=38\frac{1}{3}.$$
Значит, хлеб надо разделить так: $$1\frac{2}{3}$$, $$10\frac{5}{6}$$, $$20$$, $$29\frac{1}{6}$$ и $$38\frac{1}{3}$$ мер.
Ответ
$$1\frac{2}{3};\ 10\frac{5}{6};\ 20;\ 29\frac{1}{6};\ 38\frac{1}{3}$$
