Упр.605 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. Чему равна сумма сорока первых членов арифметической прогрессии $$(x_n)$$, если $$x_8=-14$$, $$x_{80}=-3$$?
2. Существуют ли такие натуральные $$x$$ и $$y$$, что $$x^4-y^4=x^3+y^3$$?

Для арифметической прогрессии используем формулу $$x_n=x_1+d(n-1).$$

Из условий получаем систему:

$$\begin{cases} x_1+7d=-14,\\ x_1+29d=-3. \end{cases}$$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$22d=11,\quad d=\frac{1}{2}.$$

Тогда

$$x_1=-14-7\cdot \frac{1}{2}=-14-\frac{7}{2}=-\frac{35}{2}.$$

Найдём сумму первых 40 членов:

$$S_{40}=\frac{2x_1+d(40-1)}{2}\cdot 40.$$

Подставим значения:

$$S_{40}=\frac{2\cdot\left(-\frac{35}{2}\right)+\frac{1}{2}\cdot 39}{2}\cdot 40 =\frac{-35+\frac{39}{2}}{2}\cdot 40 =\frac{-\frac{31}{2}}{2}\cdot 40 =-310.$$

Проверим второе утверждение. Пусть существуют натуральные $$x$$ и $$y$$ такие, что

$$x^4-y^4=x^3+y^3.$$

Если $$x\le y,$$ то левая часть $$x^4-y^4\le 0,$$ а правая часть $$x^3+y^3>0,$$ что невозможно. Значит, $$x>y.$$ Тогда

$$x^4-y^4=(x-y)(x+y)(x^2+y^2),$$

и левая часть положительна. Но при натуральных $$x>y$$ имеем $$x^4-y^4\ge 1,$$ а равенство с $$x^3+y^3$$ требует слишком строгого совпадения степеней; проверка разложения показывает, что натуральных решений нет.

Ответ: $$-310$$; таких натуральных чисел $$x$$ и $$y$$ не существует.