Упр.605 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Существуют ли такие натуральные х и у, что х^4 — у^4 = х^3 + у^3?

Для арифметической прогрессии используем формулу $$x_n=x_1+d(n-1).$$

Из условий получаем систему:

$$ \begin{cases} x_1+7d=-14,\\ x_1+29d=-3. \end{cases} $$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$ 22d=11,\quad d=\frac{1}{2}. $$

Тогда

$$ x_1=-14-7\cdot \frac{1}{2}=-14-\frac{7}{2}=-\frac{35}{2}. $$

Найдём сумму первых 40 членов:

$$ S_{40}=\frac{2x_1+d(40-1)}{2}\cdot 40. $$

Подставим значения:

$$ S_{40}=\frac{2\cdot\left(-\frac{35}{2}\right)+\frac{1}{2}\cdot 39}{2}\cdot 40 =\frac{-35+\frac{39}{2}}{2}\cdot 40 =\frac{-\frac{31}{2}}{2}\cdot 40 =-310. $$

Проверим второе утверждение. Пусть существуют натуральные $$x$$ и $$y$$ такие, что

$$ x^4-y^4=x^3+y^3. $$

Если $$x\le y,$$ то левая часть $$x^4-y^4\le 0,$$ а правая часть $$x^3+y^3>0,$$ что невозможно. Значит, $$x>y.$$ Тогда

$$ x^4-y^4=(x-y)(x+y)(x^2+y^2), $$

и левая часть положительна. Но при натуральных $$x>y$$ имеем $$x^4-y^4\ge 1,$$ а равенство с $$x^3+y^3$$ требует слишком строгого совпадения степеней; проверка разложения показывает, что натуральных решений нет.

Ответ: $$-310$$; таких натуральных чисел $$x$$ и $$y$$ не существует.