Упр.603 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Найдите сумму двадцати шести первых членов прогрессии. Докажите, что функция:
1) f(x) = х^2 + 4х убывает на промежутке (-бесконечность; —2];
2) f(x) = 9/(4 + x) убывает на промежутке (-бесконечность; -4).

Найдём сумму первых двадцати шести членов арифметической прогрессии, заданной формулой $$c_n=5n-2.$$

Вычислим первый и двадцать шестой члены:

$$c_1=5\cdot 1-2=3,$$

$$c_{26}=5\cdot 26-2=128.$$

Тогда

$$S_{26}=\frac{c_1+c_{26}}{2}\cdot 26=\frac{3+128}{2}\cdot 26=\frac{131}{2}\cdot 26=131\cdot 13=1703.$$

Докажем убывание функций.

1) $$f(x)=x^2+4x$$ на промежутке $$(-\infty;-2].$$

Пусть $$x_1<x_2\le -2.$$ Тогда

$$f(x_2)-f(x_1)=x_2^2+4x_2-x_1^2-4x_1=(x_2-x_1)(x_1+x_2+4).$$

Так как $$x_2-x_1>0,$$ а при $$x_1\le -2$$ и $$x_2\le -2$$ имеем

$$x_1+x_2+4\le -2-2+4=0,$$

то

$$f(x_2)-f(x_1)\le 0.$$

Следовательно, функция $$f(x)=x^2+4x$$ убывает на промежутке $$(-\infty;-2].$$

2) $$f(x)=\frac{9}{4+x}$$ на промежутке $$(-\infty;-4).$$

Пусть $$x_1<x_2<-4.$$ Тогда

$$4+x_1<4+x_2<0.$$

Из этого следует, что

$$\frac{1}{4+x_1}>\frac{1}{4+x_2},$$

а значит,

$$\frac{9}{4+x_1}>\frac{9}{4+x_2}.$$

Следовательно, $$f(x_1)>f(x_2),$$ то есть функция $$f(x)=\frac{9}{4+x}$$ убывает на промежутке $$(-\infty;-4).$$

Ответ

$$S_{26}=1703;$$ функция $$f(x)=x^2+4x$$ убывает на $$(-\infty;-2];$$ функция $$f(x)=\frac{9}{4+x}$$ убывает на $$(-\infty;-4).$$