Упр.602 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Найдите сумму тридцати двух первых членов прогрессии. Одному рабочему для выполнения производственного задания надо на 4 ч меньше, чем другому. Первый рабочий проработал 2 ч, а потом его сменил второй.
После того как второй рабочий проработал 3 ч, оказалось, что выполнена 1/2 задания. За сколько часов может выполнить это задание каждый рабочий, работая самостоятельно?

1) Найдём сумму первых 32 членов арифметической прогрессии $$a_n=-4n+1$$.

Вычислим первый и тридцать второй члены:

$$a_1=-4\cdot 1+1=-3,$$

$$a_{32}=-4\cdot 32+1=-128+1=-127.$$

Тогда

$$S_{32}=\frac{a_1+a_{32}}{2}\cdot 32=\frac{-3+(-127)}{2}\cdot 32=\frac{-130}{2}\cdot 32=-65\cdot 32=-2080.$$

2) Пусть первый рабочий может выполнить задание за $$x$$ ч, тогда второй — за $$x+4$$ ч.

Их производительности равны соответственно $$\frac{1}{x}$$ и $$\frac{1}{x+4}$$.

По условию:

$$2\cdot \frac{1}{x}+3\cdot \frac{1}{x+4}=\frac{1}{2}.$$

Умножим на $$2x(x+4)$$:

$$4(x+4)+6x=x(x+4),$$

$$4x+16+6x=x^2+4x,$$

$$x^2-6x-16=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=(-6)^2-4\cdot 1\cdot (-16)=36+64=100,$$

$$x=\frac{6\pm 10}{2}.$$

Получаем:

$$x_1=-2,\quad x_2=8.$$

Отрицательное значение не подходит, значит первый рабочий может выполнить задание за $$8$$ ч, а второй — за $$12$$ ч.

Ответ

$$-2080; \ 8\text{ ч и }12\text{ ч}.$$