Упр.599 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Просвещение: Вычислите сумму двадцати первых членов арифметической прогрессии -8, -6, -4, … . Сколько существует семизначных чисел, все цифры которых имеют одинаковую чётность?

Подробный ответ

1) Для арифметической прогрессии $$-8,\,-6,\,-4,\ldots$$ находим разность:

$$d=-6-(-8)=2.$$

Сумма первых $$n$$ членов арифметической прогрессии:

$$S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n.$$

Тогда

$$S_{20}=\frac{2\cdot(-8)+2\cdot(20-1)}{2}\cdot 20$$

$$S_{20}=\frac{-16+38}{2}\cdot 20=\frac{22}{2}\cdot 20=11\cdot 20=220.$$

2) Семизначные числа, все цифры которых имеют одинаковую чётность:

Чётных цифр $$5$$: $$0,2,4,6,8$$, нечётных тоже $$5$$: $$1,3,5,7,9$$.

Если все цифры чётные, то первая цифра не может быть равна $$0$$, значит для первой цифры есть $$4$$ варианта, а для остальных шести — по $$5$$ вариантов:

$$4\cdot 5^6.$$

Если все цифры нечётные, то для каждой из семи цифр есть по $$5$$ вариантов:

$$5^7.$$

Итак, всего:

$$4\cdot 5^6+5^7=4\cdot 15625+78125=62500+78125=140625.$$