Упр.589 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

то значения выражений а^2, b^2 и с^2 также являются последовательными членами арифметической прогрессии. В школе 20 классов и 20 классных руководителей. Сколькими способами можно распределить классное руководство между учителями?

Пусть числа $$\frac{1}{b+c}, \frac{1}{a+c}, \frac{1}{a+b}$$ — последовательные члены арифметической прогрессии. Тогда средний член равен среднему арифметическому соседних:

$$\frac{1}{a+c}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+b}\right).$$

Умножим обе части на $$2(a+b)(a+c)(b+c)$$:

$$2(b+c)(a+b)+2(a+c)(a+b)=(a+c)(b+c)+(a+c)(a+b).$$

После раскрытия скобок и приведения подобных получаем:

$$2ab+2ac+2b^2+2bc=a^2+2ab+2ac+2bc+c^2,$$

откуда

$$2b^2=a^2+c^2.$$

Следовательно, $$b^2$$ — среднее арифметическое чисел $$a^2$$ и $$c^2$$, значит, $$a^2, b^2, c^2$$ являются последовательными членами арифметической прогрессии.

Теперь рассмотрим распределение 20 классных руководителей между 20 классами. Для первого класса можно выбрать любого из 20 учителей, для второго — любого из оставшихся 19, для третьего — из 18 и так далее.

Число способов равно:

$$20\cdot 19\cdot 18\cdot \ldots \cdot 1=20!.$$

Ответ

$$20!$$