Упр.588 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. Докажите, что если положительные числа $$a$$, $$b$$ и $$c$$ — три последовательных члена арифметической прогрессии, то $$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}=\frac{2}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}$$.
2. Сколько существует семизначных телефонных номеров, которые не начинаются с цифры 0?

Так как числа $$a, b, c$$ — три последовательных члена арифметической прогрессии, то средний член равен среднему арифметическому крайних:

$$b=\frac{a+c}{2}, \qquad 2b=a+c.$$

Докажем данное равенство:

$$\frac{1}{\sqrt a+\sqrt b}+\frac{1}{\sqrt b+\sqrt c}=\frac{2}{\sqrt a+\sqrt c}.$$

Приведём левую часть к общему знаменателю:

$$\frac{\sqrt b+\sqrt c+\sqrt a+\sqrt b}{(\sqrt a+\sqrt b)(\sqrt b+\sqrt c)} = \frac{\sqrt a+\sqrt c+2\sqrt b}{(\sqrt a+\sqrt b)(\sqrt b+\sqrt c)}.$$

Умножим обе части равенства на $$\left(\sqrt a+\sqrt b\right)\left(\sqrt b+\sqrt c\right)\left(\sqrt a+\sqrt c\right)$$:

$$(\sqrt a+\sqrt c+2\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt c)=2(\sqrt a+\sqrt b)(\sqrt b+\sqrt c).$$

Раскроем скобки:

$$a+c+2\sqrt{ac}+2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc} = 2\sqrt{ab}+2b+2\sqrt{ac}+2\sqrt{bc}.$$

Сокращая одинаковые слагаемые, получаем:

$$a+c=2b.$$

Это верно, так как $$a, b, c$$ — последовательные члены арифметической прогрессии. Следовательно, тождество доказано.

Теперь найдём число семизначных телефонных номеров, не начинающихся с цифры 0.

Первая цифра может быть выбрана $$9$$ способами: $$1,2,\dots,9$$. Каждая из остальных шести цифр может быть любой из $$10$$ цифр.

Тогда число таких номеров равно:

$$9\cdot 10^6=9\,000\,000.$$

Ответ

$$\frac{1}{\sqrt a+\sqrt b}+\frac{1}{\sqrt b+\sqrt c}=\frac{2}{\sqrt a+\sqrt c}, \qquad 9\,000\,000.$$