Упр.587 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. Докажите, что если числа $$a$$, $$b$$ и $$c$$ — три последовательных члена арифметической прогрессии, то:
   1) $$a^2 + 8bc = (2b + c)^2$$;
   2) $$\frac{2}{9}(a + b + c)^3 = a^2(b + c) + b^2(a + c) + c^2(a + b)$$.
2. Сколько существует трёхзначных чисел, все цифры которых чётные?

Если числа $$a, b, c$$ — три последовательных члена арифметической прогрессии, то

$$2b=a+c,$$

откуда

$$b=\frac{a+c}{2}.$$

1. Проверим равенство $$a^2+8bc=(2b+c)^2.$$

   Подставим $$b=\frac{a+c}{2}$$:

   $$a^2+8bc=a^2+8c\cdot \frac{a+c}{2}=a^2+4c(a+c).$$

   Раскроем скобки:

   $$a^2+4ac+4c^2.$$

   Теперь преобразуем правую часть:

   $$(2b+c)^2=\left(2\cdot \frac{a+c}{2}+c\right)^2=(a+2c)^2=a^2+4ac+4c^2.$$

   Левая и правая части равны, значит, равенство доказано.

2. Проверим равенство

   $$\frac{2}{9}(a+b+c)^3=a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b).$$

   Так как $$a, b, c$$ — последовательные члены арифметической прогрессии, то

   $$a+c=2b.$$

   Тогда

   $$a+b+c=(a+c)+b=2b+b=3b,$$

   и левая часть равна

   $$\frac{2}{9}(a+b+c)^3=\frac{2}{9}(3b)^3=6b^3.$$

   Преобразуем правую часть:

   $$a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b) =a^2\left(b+c\right)+b^2\cdot 2b+c^2(a+b).$$

   Подставим $$b=\frac{a+c}{2}$$ и $$a+c=2b$$:

   $$a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b) =a^2\left(\frac{a+c}{2}+c\right)+2b^3+c^2\left(a+\frac{a+c}{2}\right).$$

   После упрощения получаем:

   $$=\frac{a^3+3a^2c}{2}+2b^3+\frac{3ac^2+c^3}{2} =2b^3+\frac{(a+c)^3}{2}.$$

   Так как $$a+c=2b$$, то

   $$2b^3+\frac{(a+c)^3}{2}=2b^3+\frac{(2b)^3}{2}=2b^3+4b^3=6b^3.$$

   Следовательно, правая часть тоже равна $$6b^3$$, значит, равенство доказано.

Теперь найдём, сколько существует трёхзначных чисел, все цифры которых чётные.

Чётные цифры: $$0, 2, 4, 6, 8.$$

Первая цифра трёхзначного числа не может быть нулём, значит, для неё есть $$4$$ варианта: $$2, 4, 6, 8.$$

Для второй и третьей цифр есть по $$5$$ вариантов.

Тогда всего:

$$4\cdot 5\cdot 5=100.$$

Ответ

1) Доказано; 2) Доказано; трёхзначных чисел с чётными цифрами — $$100$$.