Упр.587 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)
1) а^2 + 8bс = (2b + с)^2;
2) 2/9(а + b + с)^3 = а^2(b + с) + b^2(а + с) + с^2(а + b). Сколько существует трёхзначных чисел, все цифры которых чётные?
Если числа $$a, b, c$$ — три последовательных члена арифметической прогрессии, то
$$2b=a+c,$$
откуда
$$b=\frac{a+c}{2}.$$
Проверим равенство $$a^2+8bc=(2b+c)^2.$$
Подставим $$b=\frac{a+c}{2}$$:
$$ a^2+8bc=a^2+8c\cdot \frac{a+c}{2}=a^2+4c(a+c). $$
Раскроем скобки:
$$ a^2+4ac+4c^2. $$
Теперь преобразуем правую часть:
$$ (2b+c)^2=\left(2\cdot \frac{a+c}{2}+c\right)^2=(a+2c)^2=a^2+4ac+4c^2. $$
Левая и правая части равны, значит, равенство доказано.
Проверим равенство
$$ \frac{2}{9}(a+b+c)^3=a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b). $$
Так как $$a, b, c$$ — последовательные члены арифметической прогрессии, то
$$a+c=2b.$$
Тогда
$$ a+b+c=(a+c)+b=2b+b=3b, $$
и левая часть равна
$$ \frac{2}{9}(a+b+c)^3=\frac{2}{9}(3b)^3=6b^3. $$
Преобразуем правую часть:
$$ a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b) =a^2\left(b+c\right)+b^2\cdot 2b+c^2(a+b). $$
Подставим $$b=\frac{a+c}{2}$$ и $$a+c=2b$$:
$$ a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b) =a^2\left(\frac{a+c}{2}+c\right)+2b^3+c^2\left(a+\frac{a+c}{2}\right). $$
После упрощения получаем:
$$ =\frac{a^3+3a^2c}{2}+2b^3+\frac{3ac^2+c^3}{2} =2b^3+\frac{(a+c)^3}{2}. $$
Так как $$a+c=2b$$, то
$$ 2b^3+\frac{(a+c)^3}{2}=2b^3+\frac{(2b)^3}{2}=2b^3+4b^3=6b^3. $$
Следовательно, правая часть тоже равна $$6b^3$$, значит, равенство доказано.
Теперь найдём, сколько существует трёхзначных чисел, все цифры которых чётные.
Чётные цифры: $$0, 2, 4, 6, 8.$$
Первая цифра трёхзначного числа не может быть нулём, значит, для неё есть $$4$$ варианта: $$2, 4, 6, 8.$$
Для второй и третьей цифр есть по $$5$$ вариантов.
Тогда всего:
$$ 4\cdot 5\cdot 5=100. $$
Ответ
1) Доказано; 2) Доказано; трёхзначных чисел с чётными цифрами — $$100$$.
