Упр.586 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Задача

Найдите члены этой прогрессии. Сколько четырёхзначных чисел можно записать с помощью цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5?

Подробный ответ

1) Пусть числа $$3x+4,\; 2x+3,\; x^2,\; 2x^2+x$$ являются последовательными членами арифметической прогрессии. Тогда средний член равен полусумме соседних:

$$ 2(2x+3)=(3x+4)+x^2 $$

$$ 4x+6=3x+4+x^2 $$

$$ x^2-x-2=0 $$

$$ (x-2)(x+1)=0 $$

$$ x=2 \text{ или } x=-1 $$

Проверим второе условие для арифметической прогрессии:

$$ 2x^2+x=(2x+3)+\frac{(2x+3)- (3x+4)}{1} $$

Удобнее воспользоваться равенством средних членов:

$$ 2x^2+x=\frac{(2x+3)+x^2}{2} $$

$$ 4x^2+2x=2x+3+x^2 $$

$$ 3x^2-3=0 $$

$$ x^2=1 $$

$$ x=\pm 1 $$

Общее значение, удовлетворяющее обоим условиям, — $$x=-1$$.

Тогда члены прогрессии:

$$ 3x+4=1,\quad 2x+3=1,\quad x^2=1,\quad 2x^2+x=1 $$

Значит, это прогрессия $$1,\;1,\;1,\;1$$.

2) Четырёхзначное число не может начинаться с нуля. Первая цифра — одна из $$5$$ цифр: $$1,2,3,4,5$$. Каждая из остальных трёх цифр — одна из $$6$$ цифр: $$0,1,2,3,4,5$$.

Тогда количество таких чисел:

$$ 5\cdot 6\cdot 6\cdot 6=1080 $$