Упр.586 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. При каком значении $$x$$ значения выражений $$3x+4$$, $$2x+3$$, $$x^2$$ и $$2x^2+x$$ будут последовательными членами арифметической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.
2. Сколько четырёхзначных чисел можно записать с помощью цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5?

1) Пусть числа $$3x+4,\; 2x+3,\; x^2,\; 2x^2+x$$ являются последовательными членами арифметической прогрессии. Тогда средний член равен полусумме соседних:

$$2(2x+3)=(3x+4)+x^2$$

$$4x+6=3x+4+x^2$$

$$x^2-x-2=0$$

$$(x-2)(x+1)=0$$

$$x=2 \text{ или } x=-1$$

Проверим второе условие для арифметической прогрессии:

$$2x^2+x=(2x+3)+\frac{(2x+3)- (3x+4)}{1}$$

Удобнее воспользоваться равенством средних членов:

$$2x^2+x=\frac{(2x+3)+x^2}{2}$$

$$4x^2+2x=2x+3+x^2$$

$$3x^2-3=0$$

$$x^2=1$$

$$x=\pm 1$$

Общее значение, удовлетворяющее обоим условиям, — $$x=-1$$.

Тогда члены прогрессии:

$$3x+4=1,\quad 2x+3=1,\quad x^2=1,\quad 2x^2+x=1$$

Значит, это прогрессия $$1,\;1,\;1,\;1$$.

2) Четырёхзначное число не может начинаться с нуля. Первая цифра — одна из $$5$$ цифр: $$1,2,3,4,5$$. Каждая из остальных трёх цифр — одна из $$6$$ цифр: $$0,1,2,3,4,5$$.

Тогда количество таких чисел:

$$5\cdot 6\cdot 6\cdot 6=1080$$

Ответ

$$x=-1$$; $$1,\;1,\;1,\;1$$.
$$1080$$.