Упр.585 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Просвещение: При каком значении у значения выражений у^2 — 2y, 3у + 5, 4у + 13 и 2у^2 — у + 25 будут последовательными членами арифметической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии. Сколько существует трёхзначных чисел, все цифры которых нечётные?

Пусть данные выражения являются последовательными членами арифметической прогрессии:

$$y^2-2y,\; 3y+5,\; 4y+13,\; 2y^2-y+25.$$

Тогда средний член равен полусумме соседних:

$$3y+5=\frac{(y^2-2y)+(4y+13)}{2}.$$

Умножим на $2$:

$$6y+10=y^2+2y+13,$$

$$y^2-4y+3=0,$$

$$ (y-1)(y-3)=0.$$

Отсюда $$y=1$$ или $$y=3.$$

Проверим второе условие для арифметической прогрессии:

$$4y+13=\frac{(3y+5)+(2y^2-y+25)}{2}.$$

Умножим на $2$:

$$8y+26=2y^2+2y+30,$$

$$2y^2-6y+4=0,$$

$$y^2-3y+2=0,$$

$$ (y-1)(y-2)=0.$$

Отсюда $$y=1$$ или $$y=2.$$

Общее значение, удовлетворяющее обоим условиям, — $$y=1.$$

Найдём члены прогрессии:

$$a_1=1^2-2\cdot1=-1,$$

$$a_2=3\cdot1+5=8,$$

$$a_3=4\cdot1+13=17,$$

$$a_4=2\cdot1^2-1+25=26.$$

Теперь найдём число трёхзначных чисел, все цифры которых нечётные. Нечётные цифры: $$1,3,5,7,9.$$

Для каждой из трёх позиций есть по $5$ вариантов, значит:

$$5\cdot5\cdot5=125.$$

Ответ

$$y=1,$$ члены прогрессии: $$-1,\; 8,\; 17,\; 26.$$ Трёхзначных чисел с нечётными цифрами: $$125.$$