Упр.584 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Просвещение: При каком значении у значения выражений у^2 + 1, у^2 + у и 8y — 10 будут последовательными членами арифметической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии. Сколько четырёхзначных чисел можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6?

Подробный ответ

Пусть числа $$y^2+1$$, $$y^2+y$$ и $$8y-10$$ являются последовательными членами арифметической прогрессии. Тогда средний член равен полусумме соседних:

$$ y^2+y=\frac{(y^2+1)+(8y-10)}{2}. $$

Умножим на $$2$$:

$$ 2y^2+2y=y^2+8y-9. $$

Перенесём всё в одну сторону:

$$ y^2-6y+9=0. $$

$$ (y-3)^2=0, $$

откуда $$y=3$$.

Найдём члены прогрессии:

$$ y^2+1=3^2+1=10, $$

$$ y^2+y=3^2+3=12, $$

$$ 8y-10=8\cdot 3-10=14. $$

Значит, искомая арифметическая прогрессия: $$10,\,12,\,14$$.

Четырёхзначное число составляется из цифр $$1,2,3,4,5,6$$. Ограничений на повторение цифр нет, поэтому на каждую из четырёх позиций можно выбрать любую из 6 цифр.

Тогда число вариантов:

$$ 6\cdot 6\cdot 6\cdot 6=6^4=1296. $$