Упр.583 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. При каком значении $$x$$ значения выражений $$x^2-4$$, $$5x+3$$ и $$3x+2$$ будут последовательными членами арифметической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.
2. Сколько пятизначных чисел, все цифры которых различны, можно составить из цифр $$1, 2, 3, 4, 5$$, если эти числа должны начинаться: 1) с цифры $$1$$; 2) с записи «$$34$$»?

Пусть три выражения $$x^2-4$$, $$5x+3$$ и $$3x+2$$ являются последовательными членами арифметической прогрессии. Тогда средний член равен полусумме соседних:

$$5x+3=\frac{(x^2-4)+(3x+2)}{2}.$$

Умножим на $$2$$:

$$10x+6=x^2+3x-2.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$x^2-7x-8=0.$$

Найдём корни:

$$D=(-7)^2-4\cdot 1\cdot(-8)=49+32=81,$$

$$x_{1,2}=\frac{7\pm 9}{2}.$$

Отсюда:

$$x_1=-1,\qquad x_2=8.$$

Найдём члены прогрессии.

При $$x=-1$$:

$$x^2-4=1-4=-3,\qquad 5x+3=-5+3=-2,\qquad 3x+2=-3+2=-1.$$

При $$x=8$$:

$$x^2-4=64-4=60,\qquad 5x+3=40+3=43,\qquad 3x+2=24+2=26.$$

Теперь посчитаем количество пятизначных чисел из цифр $$1,2,3,4,5$$, в которых все цифры различны.

1) Если число начинается с цифры $$1$$, то оставшиеся четыре цифры можно переставить $$4!$$ способами:

$$4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24.$$

2) Если число начинается с записи $$34$$, то оставшиеся три цифры можно переставить $$3!$$ способами:

$$3\cdot 2\cdot 1=6.$$

Ответ

$$x=-1$$, прогрессия $$-3,\,-2,\,-1$$; $$x=8$$, прогрессия $$60,\,43,\,26$$.
1) $$24$$; 2) $$6$$.