Упр.582 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. Докажите, что числа, равные соответственно суммам углов треугольника, четырёхугольника, пятиугольника и т. д., образуют арифметическую прогрессию.
2. На вершину горы ведёт 5 маршрутов. Сколькими способами альпинист может подняться на гору и спуститься с неё? Ответьте на этот вопрос также при условии, что подъём и спуск должны проходить по разным маршрутам.

Пусть $$S_n$$ — сумма углов $$n$$-угольника. Тогда

$$S_n=180^\circ(n-2).$$

Найдём разность соседних членов:

$$S_{n+1}-S_n=180^\circ(n+1-2)-180^\circ(n-2)=180^\circ.$$

Разность постоянна, значит числа $$S_3, S_4, S_5, \dots$$ образуют арифметическую прогрессию.

Теперь о маршрутах. На вершину горы ведёт 5 маршрутов.

Если подъём и спуск могут проходить по одному и тому же маршруту, то число способов:

$$5\cdot 5=25.$$

Если подъём и спуск должны проходить по разным маршрутам, то для подъёма есть 5 вариантов, а для спуска — 4 варианта:

$$5\cdot 4=20.$$

Ответ

Числа $$S_3, S_4, S_5, \dots$$ образуют арифметическую прогрессию; $$25$$ способов, а при разных маршрутах подъёма и спуска — $$20$$ способов.