Упр.579 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. Даны две бесконечные арифметические прогрессии. Если из каждого члена одной прогрессии вычесть соответствующий член другой, то будет ли полученная последовательность арифметической прогрессией?
2. В корзине лежат 10 яблок и 7 груш. Антон выбирает яблоко или грушу. После этого Максим выбирает яблоко и грушу. В каком случае у Максима больше возможностей для выбора: когда Антон взял яблоко или когда Антон взял грушу?

Пусть первая арифметическая прогрессия имеет вид $$a_n=a_1+d_a(n-1),$$ а вторая — $$b_n=b_1+d_b(n-1).$$

Рассмотрим разность соответствующих членов:

$$c_n=b_n-a_n=(b_1-a_1)+(d_b-d_a)(n-1).$$

Тогда

$$c_{n+1}=b_1-a_1+(d_b-d_a)n,$$

и разность соседних членов равна

$$c_{n+1}-c_n=d_b-d_a.$$

Она не зависит от $$n$$, значит, полученная последовательность тоже является арифметической прогрессией.

Теперь рассмотрим задачу с фруктами.

Если Антон взял яблоко, останется $$9$$ яблок и $$7$$ груш, тогда число способов выбора у Максима:

$$9\cdot 7=63.$$

Если Антон взял грушу, останется $$10$$ яблок и $$6$$ груш, тогда число способов выбора у Максима:

$$10\cdot 6=60.$$

Так как $$63>60,$$ у Максима больше возможностей, когда Антон взял яблоко.

Ответ

Да, разность соответствующих членов двух арифметических прогрессий является арифметической прогрессией. У Максима больше возможностей, когда Антон взял яблоко.