Упр.577 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. Является ли последовательность $$(a_n)$$ арифметической прогрессией, если она задана формулой $$n$$-го члена:
   1) $$a_n=6+7n$$;
   2) $$a_n=\frac{2n-1}{5}$$;
   3) $$a_n=\frac{1}{n}+2$$?
   В случае утвердительного ответа укажите первый член и разность прогрессии.
2. Кафе предлагает в меню 3 первых блюда, 6 вторых блюд и 5 третьих блюд. Сколько существует способов выбрать обед из трёх блюд (по одному блюду каждого вида)?

1. Проверим, является ли последовательность арифметической прогрессией.

   1) $$a_n=6+7n$$

   Найдём разность:
   $$a_{n+1}=6+7(n+1)=6+7n+7,$$
   $$d=a_{n+1}-a_n=(6+7n+7)-(6+7n)=7.$$
   Первый член:
   $$a_1=6+7\cdot 1=13.$$
   Значит, это арифметическая прогрессия.

   2) $$a_n=\frac{2n-1}{5}$$

   $$a_{n+1}=\frac{2(n+1)-1}{5}=\frac{2n+1}{5},$$
   $$d=a_{n+1}-a_n=\frac{2n+1}{5}-\frac{2n-1}{5}=\frac{2}{5}.$$
   Первый член:
   $$a_1=\frac{2\cdot 1-1}{5}=\frac{1}{5}.$$
   Значит, это арифметическая прогрессия.

   3) $$a_n=\frac{1}{n}+2$$

   $$a_{n+1}=\frac{1}{n+1}+2,$$
   $$d=a_{n+1}-a_n=\left(\frac{1}{n+1}+2\right)-\left(\frac{1}{n}+2\right)=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}=-\frac{1}{n(n+1)}.$$
   Разность зависит от $$n$$, значит, последовательность не является арифметической прогрессией.

2. Число способов выбрать обед равно произведению числа вариантов каждого блюда:

   $$3\cdot 6\cdot 5=90.$$

Ответ

1) является, $$a_1=13$$, $$d=7$$; 2) является, $$a_1=\frac{1}{5}$$, $$d=\frac{2}{5}$$; 3) не является; 90.