Упр.574 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Задача

Верно ли утверждение: если длины сторон выпуклого четырёхугольника (рис. 102), взятые в последовательности $$a, b, d, c$$, образуют арифметическую прогрессию, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность?
Постройте график функции $$y=\frac{5x-15}{3x-x^2}$$.

Подробный ответ

Проверим утверждение о четырёхугольнике. Для того чтобы в выпуклый четырёхугольник можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы суммы противоположных сторон были равны:

$$a+c=b+d.$$

Пусть стороны четырёхугольника образуют арифметическую прогрессию:

$$a,\; a+x,\; a+2x,\; a+3x.$$

Тогда

$$a+c=a+(a+2x)=2a+2x,$$

$$b+d=(a+x)+(a+3x)=2a+4x.$$

Чтобы можно было вписать окружность, должно выполняться равенство

$$2a+2x=2a+4x,$$

откуда

$$2x=4x,\quad 2x=0,\quad x=0.$$

Но при $$x=0$$ все стороны равны, то есть четырёхугольник — ромб. Значит, утверждение неверно: не любой четырёхугольник со сторонами, образующими арифметическую прогрессию, является описанным около окружности.

Теперь преобразуем функцию:

$$y=\frac{5x-15}{3x-x^2}=\frac{5(x-3)}{x(3-x)}=-\frac{5}{x}.$$

Область определения:

$$x\ne 0,\quad x\ne 3.$$

График функции совпадает с графиком гиперболы $$y=-\frac{5}{x}$$, но точки $$x=0$$ и $$x=3$$ исключаются из области определения. Поэтому на графике нужно отметить разрыв при $$x=0$$ и выколотую точку при $$x=3$$, где

$$y=-\frac{5}{3}.$$