Упр.571 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)
- Найдите первый член и разность арифметической прогрессии $$(a_n)$$, если:
1) $$a_5+a_{12}=41$$ и $$a_{10}+a_{14}=62$$;
2) $$a_7+a_{13}=-104$$ и $$a_2\cdot a_6=-240$$. - В отделе технического контроля завода измеряется диаметр вала с точностью до $$0{,}1\ \text{мм}$$. По таблице допусков диаметр $$d$$ вала должен удовлетворять требованию $$189{,}9\le d\le190{,}3$$. Будет ли забракован вал, если в результате измерения его диаметр оказался равным $$190{,}2\ \text{мм}$$?
1) Для арифметической прогрессии используем формулу $$a_n=a_1+d(n-1).$$
Тогда
$$a_5=a_1+4d,\quad a_{12}=a_1+11d,\quad a_{10}=a_1+9d,\quad a_{14}=a_1+13d.$$
Получаем систему:
$$\begin{cases} (a_1+4d)+(a_1+11d)=41,\\ (a_1+9d)+(a_1+13d)=62. \end{cases}$$
Упростим:
$$\begin{cases} 2a_1+15d=41,\\ 2a_1+22d=62. \end{cases}$$
Вычтем первое уравнение из второго:
$$7d=21,\quad d=3.$$
Подставим в первое уравнение:
$$2a_1+15\cdot 3=41,$$
$$2a_1= -4,\quad a_1=-2.$$
2) Аналогично:
$$a_7=a_1+6d,\quad a_{13}=a_1+12d,\quad a_2=a_1+d,\quad a_6=a_1+5d.$$
Тогда
$$\begin{cases} (a_1+6d)+(a_1+12d)=-104,\\ (a_1+d)(a_1+5d)=-240. \end{cases}$$
Из первого уравнения:
$$2a_1+18d=-104,\quad a_1=-52-9d.$$
Подставим во второе:
$$(-52-9d+d)(-52-9d+5d)=-240,$$
$$(-52-8d)(-52-4d)=-240.$$
Раскроем скобки:
$$2704+416d+208d+32d^2=-240,$$
$$32d^2+624d+2944=0,$$
$$2d^2+39d+184=0.$$
Найдём корни:
$$D=39^2-4\cdot 2\cdot 184=49,$$
$$d=\frac{-39\pm 7}{4}.$$
Отсюда
$$d_1=-8,\quad d_2=-11{,}5.$$
Тогда
$$a_1=-52-9\cdot(-11{,}5)=51{,}5,$$
$$a_1=-52-9\cdot(-8)=20.$$
3) Допуск диаметра:
$$189{,}9\le d\le 190{,}3.$$
Измеренный диаметр равен $$190{,}2$$ мм, значит он входит в допустимый интервал.
Ответ
1) $$a_1=-2,\ d=3.$$
2) $$a_1=51{,}5,\ d=-11{,}5$$ или $$a_1=20,\ d=-8.$$
3) Вал не будет забракован.
