Упр.570 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Задача

1) а3 + а7 = 30 и а6 + а16 = 60;
2) а4 + a10 = 36 и а5 * а11 = 340. В справочнике указано, что запасы вольфрама в минеральных ресурсах мира составляют 1,3 * 10^6 т.
Оцените относительную погрешность этого приближения.

Подробный ответ

Для арифметической прогрессии $$a_n=a_1+d(n-1)$$ имеем:
$$a_3=a_1+2d,\quad a_7=a_1+6d,\quad a_6=a_1+5d,\quad a_{16}=a_1+15d.$$
Тогда
$$ \begin{aligned} a_3+a_7&=30,\\ a_6+a_{16}&=60 \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} (a_1+2d)+(a_1+6d)&=30,\\ (a_1+5d)+(a_1+15d)&=60 \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} 2a_1+8d&=30,\\ 2a_1+20d&=60 \end{aligned} $$
Вычтем первое уравнение из второго:
$$ 12d=30,\quad d=2{,}5. $$
Подставим в первое уравнение:
$$ 2a_1+8\cdot 2{,}5=30,\quad 2a_1=10,\quad a_1=5. $$
$$a_4=a_1+3d,\quad a_{10}=a_1+9d,\quad a_5=a_1+4d,\quad a_{11}=a_1+10d.$$
Из условий получаем:
$$ \begin{aligned} a_4+a_{10}&=36,\\ a_5\cdot a_{11}&=340 \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} (a_1+3d)+(a_1+9d)&=36,\\ (a_1+4d)(a_1+10d)&=340 \end{aligned} $$
$$ 2a_1+12d=36,\quad a_1=18-6d. $$
Подставим во второе уравнение:
$$ (18-6d+4d)(18-6d+10d)=340 $$
$$ (18-2d)(18+4d)=340 $$
$$ 324+72d-36d-8d^2=340 $$
$$ 2d^2-9d+4=0 $$
$$ D=(-9)^2-4\cdot 2\cdot 4=49 $$
$$ d=\frac{9\pm 7}{4} $$
$$ d_1=4,\quad d_2=\frac12 $$
Найдём соответствующие значения $$a_1$$:
$$ a_1=18-6d $$
$$ d=4 \Rightarrow a_1=18-24=-6 $$
$$ d=\frac12 \Rightarrow a_1=18-3=15 $$
Запишем приближение в виде $$1{,}3\cdot 10^6 \pm 0{,}1\cdot 10^6$$, то есть абсолютная погрешность равна $$10^5$$ т.
Тогда относительная погрешность:
$$ \frac{10^5}{1{,}3\cdot 10^6}=\frac{1}{13}\approx 0{,}077. $$