Упр.570 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии $$(a_n)$$, если:
   1) $$a_3+a_7=30$$ и $$a_6+a_{16}=60$$;
   2) $$a_4+a_{10}=36$$ и $$a_5\cdot a_{11}=340$$.
2. В справочнике указано, что запасы вольфрама в минеральных ресурсах мира составляют $$1{,}3\cdot10^6\ \text{т}$$. Оцените относительную погрешность этого приближения.

1. Для арифметической прогрессии $$a_n=a_1+d(n-1)$$ имеем:

   $$a_3=a_1+2d,\quad a_7=a_1+6d,\quad a_6=a_1+5d,\quad a_{16}=a_1+15d.$$

   Тогда

   $$\begin{aligned} a_3+a_7&=30,\\ a_6+a_{16}&=60 \end{aligned}$$

   $$\begin{aligned} (a_1+2d)+(a_1+6d)&=30,\\ (a_1+5d)+(a_1+15d)&=60 \end{aligned}$$

   $$\begin{aligned} 2a_1+8d&=30,\\ 2a_1+20d&=60 \end{aligned}$$

   Вычтем первое уравнение из второго:

   $$12d=30,\quad d=2{,}5.$$

   Подставим в первое уравнение:

   $$2a_1+8\cdot 2{,}5=30,\quad 2a_1=10,\quad a_1=5.$$

2. $$a_4=a_1+3d,\quad a_{10}=a_1+9d,\quad a_5=a_1+4d,\quad a_{11}=a_1+10d.$$

   Из условий получаем:

   $$\begin{aligned} a_4+a_{10}&=36,\\ a_5\cdot a_{11}&=340 \end{aligned}$$

   $$\begin{aligned} (a_1+3d)+(a_1+9d)&=36,\\ (a_1+4d)(a_1+10d)&=340 \end{aligned}$$

   $$2a_1+12d=36,\quad a_1=18-6d.$$

   Подставим во второе уравнение:

   $$(18-6d+4d)(18-6d+10d)=340$$

   $$(18-2d)(18+4d)=340$$

   $$324+72d-36d-8d^2=340$$

   $$2d^2-9d+4=0$$

   $$D=(-9)^2-4\cdot 2\cdot 4=49$$

   $$d=\frac{9\pm 7}{4}$$

   $$d_1=4,\quad d_2=\frac12$$

   Найдём соответствующие значения $$a_1$$:

   $$a_1=18-6d$$

   $$d=4 \Rightarrow a_1=18-24=-6$$

   $$d=\frac12 \Rightarrow a_1=18-3=15$$

3. Запишем приближение в виде $$1{,}3\cdot 10^6 \pm 0{,}1\cdot 10^6$$, то есть абсолютная погрешность равна $$10^5$$ т.

   Тогда относительная погрешность:

   $$\frac{10^5}{1{,}3\cdot 10^6}=\frac{1}{13}\approx 0{,}077.$$

Ответ

1) $$a_1=5,\ d=2{,}5.$$
2) $$a_1=-6,\ d=4$$ или $$a_1=15,\ d=\frac12.$$
3) $$0{,}077.$$