Упр.547 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. Является ли арифметической прогрессией последовательность (в случае утвердительного ответа укажите разность прогрессии): 1) $$24, 22, 20, 18$$; 2) $$16, 17, 19, 23$$; 3) $$-3, 2, 7, 12$$?
2. К сплаву магния и алюминия, содержавшему $$12$$ кг алюминия, добавили $$5$$ кг магния, после чего процентное содержание магния в сплаве увеличилось на $$20$$ единиц. Сколько килограммов магния было в сплаве первоначально?

1. Проверим разность соседних членов последовательности.

   $$22-24=-2$$
   $$20-22=-2$$
   $$18-20=-2$$

   Разность постоянна, значит, это арифметическая прогрессия, $$d=-2$$.

2. $$17-16=1$$
   $$19-17=2$$

   Разности не равны, значит, последовательность не является арифметической прогрессией.

3. $$2-(-3)=5$$
   $$7-2=5$$
   $$12-7=5$$

   Разность постоянна, значит, это арифметическая прогрессия, $$d=5$$.

Обозначим через $$x$$ массу магния в сплаве первоначально. Тогда масса сплава была равна $$x+12$$ кг.

После добавления $$5$$ кг магния масса магния стала $$x+5$$ кг, а масса сплава — $$x+17$$ кг.

По условию процентное содержание магния увеличилось на $$20$$ единиц, значит:

$$\frac{x+5}{x+17}\cdot 100-\frac{x}{x+12}\cdot 100=20$$

Разделим на $$20$$:

$$\frac{x+5}{x+17}-\frac{x}{x+12}=\frac15$$

Приведём к общему знаменателю:

$$5(x+5)(x+12)-5x(x+17)=(x+17)(x+12)$$
$$5x^2+85x+300-5x^2-85x=x^2+29x+204$$
$$x^2+29x-96=0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=29^2+4\cdot 96=1225$$
$$x=\frac{-29\pm 35}{2}$$
$$x_1=-32,\quad x_2=3$$

Отрицательный корень не подходит, значит, первоначально в сплаве было $$3$$ кг магния.

Ответ

1) является, $$d=-2$$; 2) не является; 3) является, $$d=5$$; в сплаве было $$3$$ кг магния.