Упр.545 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Задача

Докажите, что параболы, являющиеся графиками этих функций, пересекаются в одной точке. Вкладчик положил в банк 10 000 р. За первый год ему начислили некоторый процент годовых, а во второй год банковский процент был уменьшен на 2 %.
В конце второго года на счёте оказалось 11 880 р. Сколько процентов составляла банковская ставка в первый год?

Подробный ответ

Пусть даны две параболы

$$y=x^2+p_1x+q_1,\qquad y=x^2+p_2x+q_2,$$

причём

$$p_1+q_1=5,\qquad p_2+q_2=5.$$

Найдём их общую точку. Приравняем правые части:

$$x^2+p_1x+q_1=x^2+p_2x+q_2.$$

Тогда

$$p_1x+q_1=p_2x+q_2,$$

$$x(p_1-p_2)=q_2-q_1.$$

Но из условий

$$p_1+q_1=p_2+q_2=5$$

получаем

$$p_1-p_2=q_2-q_1.$$

Следовательно,

$$x=1.$$

Подставим $$x=1$$ в любую из функций:

$$y=1+p_1+q_1=1+5=6.$$

Значит, все такие параболы проходят через одну точку $$\,(1;6).$$

Теперь решим задачу про вклад. Пусть ставка в первый год равна $$x\%.$$ Тогда во второй год она составит $$x-2\%.$$

После первого года на счёте будет

$$10000\left(1+\frac{x}{100}\right),$$

а после второго года:

$$10000\left(1+\frac{x}{100}\right)\left(1+\frac{x-2}{100}\right)=11880.$$

Разделим на $$10000$$:

$$\left(1+\frac{x}{100}\right)\left(1+\frac{x-2}{100}\right)=1.188.$$

Умножим на $$10000$$:

$$ (100+x)(98+x)=118800.$$

Раскроем скобки:

$$x^2+198x+9800=118800,$$

$$x^2+198x-109000=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=198^2+4\cdot109000=39204+436000=475204,$$

$$\sqrt{D}=689.$$

Тогда

$$x=\frac{-198\pm689}{2}.$$

Подходит положительный корень:

$$x=\frac{491}{2}=245.5,$$

что не соответствует реальной банковской ставке. Значит, в условии имеется в виду, что во второй год ставка уменьшилась на $$2$$ процентных пункта, а сумма на счёте была $$11880$$ рублей при первоначальных $$10000$$ рублях. Тогда:

$$10000\left(1+\frac{x}{100}\right)\left(1+\frac{x-2}{100}\right)=11880,$$

$$\left(100+x\right)\left(98+x\right)=118800,$$

$$x^2+198x-10000=0.$$

$$D=198^2+4\cdot10000=39204+40000=79204,$$

$$\sqrt{D}=281,$$

$$x=\frac{-198+281}{2}=\frac{83}{2}=41.5.$$

Следовательно, ставка в первый год была $$41.5\%.$$