Упр.540 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1) 2, 9, 28, 65, 126, …;
2) 1/2, 1/6, 1/12, 1/20, 1/30, … . Смешали 30-процентный раствор соляной кислоты с 10-процентным раствором и получили 800 г 15-процентного раствора.
Сколько граммов каждого раствора взяли для этого?

1. Рассмотрим последовательность $$2, 9, 28, 65, 126, \ldots$$

   Заметим, что

   $$2=1^3+1,\quad 9=2^3+1,\quad 28=3^3+1,\quad 65=4^3+1,\quad 126=5^3+1.$$

   Значит, одной из возможных формул n-го члена является

   $$a_n=n^3+1.$$

2. Рассмотрим последовательность $$\frac12,\ \frac16,\ \frac1{12},\ \frac1{20},\ \frac1{30},\ldots$$

   Запишем знаменатели:

   $$2=1\cdot 2,\quad 6=2\cdot 3,\quad 12=3\cdot 4,\quad 20=4\cdot 5,\quad 30=5\cdot 6.$$

   Тогда

   $$a_n=\frac{1}{n(n+1)}.$$

3. Пусть $$x$$ г — масса 30-процентного раствора, $$y$$ г — масса 10-процентного раствора.

   Тогда составим систему:

   $$ \begin{cases} x+y=800, \\ 0{,}3x+0{,}1y=0{,}15\cdot 800. \end{cases} $$

   Упростим второе уравнение:

   $$ 0{,}3x+0{,}1y=120. $$

   Умножим его на $$10$$:

   $$ 3x+y=1200. $$

   Вычтем из этого уравнения первое:

   $$ (3x+y)-(x+y)=1200-800, $$

   $$ 2x=400,\quad x=200. $$

   Тогда

   $$ y=800-200=600. $$

Ответ

1) $$a_n=n^3+1$$;
2) $$a_n=\frac{1}{n(n+1)}$$;
3) $$200\text{ г и }600\text{ г}$$.