Упр.53 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Задача

Население города за два года увеличилось с $$40\,000$$ жителей до $$44\,100$$. Найдите средний ежегодный процент прироста населения в этом городе.
Верно ли утверждение:
1) если $$a>b$$, то $$a>-b$$;
2) если $$a>b$$, то $$2a>b$$;
3) если $$a>b$$, то $$2a+1>2b$$;
4) если $$b>a$$, то $$\frac{b}{a}>1$$;
5) если $$a>b+2$$ и $$b-3>4$$, то $$a>9$$;
6) если $$a>b$$, то $$ab>b^2$$;
7) поскольку $$5>3$$, то $$5a^2>3a^2$$;
8) поскольку $$5>3$$, то $$5(a^2+1)>3(a^2+1)$$?

Подробный ответ

Пусть средний ежегодный процент прироста равен $$x\%.$$ Тогда за два года численность населения увеличилась по формуле сложных процентов:

$$40000\left(1+\frac{x}{100}\right)^2=44100.$$

Разделим обе части на $$40000$$:

$$\left(1+\frac{x}{100}\right)^2=\frac{44100}{40000}=1{,}1025.$$

Тогда

$$1+\frac{x}{100}=\sqrt{1{,}1025}=1{,}05,$$

откуда

$$\frac{x}{100}=1{,}05-1=0{,}05,$$

$$x=5.$$

Значит, средний ежегодный прирост населения равен $$5\%.$$

Проверим утверждения.

Если $$a>b,$$ то $$a>-b.$$
Неверно: например, при $$a=1,$$ $$b=-2$$ имеем $$1>-2,$$ но $$1>2$$ — неверно.
Если $$a>b,$$ то $$2a>b.$$
Неверно: при $$a=-2,$$ $$b=-3$$ получаем $$2a=-4,$$ а $$-4>-3$$ — неверно.
Если $$a>b,$$ то $$2a+1>2b.$$
Верно, так как из $$a>b$$ следует $$2a>2b,$$ а значит и $$2a+1>2b.$$
Если $$b>a,$$ то $$\frac{b}{a}>1.$$
Неверно: например, при $$b=2,$$ $$a=-1$$ имеем $$2>-1,$$ но $$\frac{2}{-1}=-2<1.$$
Если $$a>b+2$$ и $$b-3>4,$$ то $$a>9.$$
Из $$b-3>4$$ получаем $$b>7,$$ тогда $$b+2>9,$$ а из $$a>b+2$$ следует $$a>9.$$ Верно.
Если $$a>b,$$ то $$ab>b^2.$$
Неверно: например, при $$a=2,$$ $$b=-1$$ имеем $$2>-1,$$ но $$ab=-2,$$ $$b^2=1,$$ и $$-2>1$$ — неверно.
Поскольку $$5>3,$$ то $$5a^2>3a^2.$$
Неверно при $$a=0$$: тогда $$5a^2=3a^2=0.$$
Поскольку $$5>3,$$ то $$5(a^2+1)>3(a^2+1).$$
Верно, так как $$a^2+1>0$$ при любом $$a,$$ и умножение большего положительного числа на положительный множитель сохраняет знак неравенства.