Упр.519 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Задача

1) -х^2 + 6х — а > 0;
2) х^2 — (а + 1)х + 3а — 5 < 0; 3) ах^2 + (а - 1)х + (а - 1) < 0? Цена товара выросла с 1200 р. до 1500 р. На сколько процентов повысилась цена?

Подробный ответ

1) Рассмотрим неравенство $$-x^2+6x-a>0.$$

Чтобы оно не имело решений, соответствующий квадратный трёхчлен должен быть не положителен при всех $$x$$, то есть его дискриминант должен быть не больше нуля:

$$D=6^2-4\cdot(-1)\cdot(-a)=36-4a\le 0.$$

$$4a\ge 36,$$

$$a\ge 9.$$

Значит, $$a\in[9;+\infty).$$

2) Рассмотрим неравенство $$x^2-(a+1)x+3a-5<0.$$

Оно не имеет решений, если дискриминант не больше нуля:

$$D=(a+1)^2-4(3a-5)\le 0.$$

$$a^2+2a+1-12a+20\le 0,$$

$$a^2-10a+21\le 0,$$

$$ (a-3)(a-7)\le 0.$$

Отсюда

$$a\in[3;7].$$

3) Рассмотрим неравенство $$ax^2+(a-1)x+(a-1)<0.$$

Если $$a=0$$, получаем линейное неравенство $$-x-1<0,$$ которое имеет решения. Поэтому нужно рассмотреть случай $$a\ne 0$$ и потребовать, чтобы квадратный трёхчлен не имел решений.

Для этого достаточно, чтобы дискриминант был не больше нуля и ветви параболы были направлены вверх:

$$D=(a-1)^2-4a(a-1)\le 0.$$

$$a^2-2a+1-4a^2+4a\le 0,$$

$$-3a^2+2a+1\le 0,$$

$$3a^2-2a-1\ge 0,$$

$$ (3a+1)(a-1)\ge 0.$$

Отсюда

$$a\in(-\infty;-\tfrac13]\cup[1;+\infty).$$

С учётом условия $$a>0$$ получаем

$$a\in[1;+\infty).$$

Цена товара выросла с $$1200$$ р. до $$1500$$ р., значит, процент повышения равен

$$\frac{1500-1200}{1200}\cdot 100\% = 25\%.$$