Упр.518 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Задача

1) х^2 — 4х + а > 0;
2) х^2 + (а — 1)х + 1 — а — а^2 >= 0;
3) -1/4 x^2 + 5ах — 9а^2 — 8а < 0; 4) (а - 1)х^2 - (а + 1)х + а + 1 > 0? Найдите процентное содержание олова в руде, если 40 т этой руды содержат 3,2 т олова.

Подробный ответ

$$x^2-4x+a>0$$
Чтобы неравенство выполнялось при всех действительных значениях $$x$$, квадратный трёхчлен должен не иметь действительных корней:
$$D=(-4)^2-4\cdot 1\cdot a<0$$
$$16-4a<0$$
$$a>4$$
Значит, $$a\in(4;+\infty).$$
$$x^2+(a-1)x+1-a-a^2\ge 0$$
Для выполнения при всех $$x$$ нужно, чтобы дискриминант был неположительным:
$$D=(a-1)^2-4(1-a-a^2)\le 0$$
$$a^2-2a+1-4+4a+4a^2\le 0$$
$$5a^2+2a-3\le 0$$
Найдём корни квадратного трёхчлена:
$$D=2^2-4\cdot 5\cdot(-3)=64$$
$$a_{1,2}=\frac{-2\pm 8}{10}$$
$$a_1=-1,\quad a_2=\frac35$$
Так как старший коэффициент положителен, то
$$a\in\left[-1;\frac35\right].$$
$$-\frac14x^2+5ax-9a^2-8a<0$$
Чтобы неравенство выполнялось при всех $$x$$, парабола должна не пересекать ось абсцисс, то есть
$$D=(5a)^2-4\cdot\left(-\frac14\right)\cdot(-9a^2-8a)<0$$
$$25a^2-9a^2-8a<0$$
$$16a^2-8a<0$$
$$8a(2a-1)<0$$
Отсюда
$$a\in\left(0;\frac12\right).$$
$$(a-1)x^2-(a+1)x+a+1>0$$
Если $$a=1$$, получаем линейное выражение $$-2x+2>0$$, которое не выполняется при всех $$x$$. Значит, $$a\ne 1$$.
Для выполнения при всех $$x$$ нужно:
$$D=(a+1)^2-4(a-1)(a+1)<0$$
$$a^2+2a+1-4a^2+4<0$$
$$3a^2-2a-5>0$$
Найдём корни:
$$D=(-2)^2-4\cdot 3\cdot(-5)=64$$
$$a_{1,2}=\frac{2\pm 8}{6}$$
$$a_1=-1,\quad a_2=\frac53$$
Так как старший коэффициент положителен, то
$$a<-1 \quad \text{или} \quad a>\frac53.$$
С учётом условия $$a\ne 1$$ получаем тот же результат.
Пусть содержание олова в руде равно $$x\%$$. Тогда
$$40\cdot \frac{x}{100}=3{,}2$$
$$\frac{2x}{5}=3{,}2$$
$$2x=16$$
$$x=8$$
Значит, содержание олова в руде равно $$8\%.$$