Упр.517 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. Решите неравенство:
   1) $$(x-3)\sqrt{14+5x-x^2}>0$$;
   2) $$(x-3)\sqrt{14+5x-x^2}\geqslant0$$;
   3) $$(x-3)\sqrt{14+5x-x^2}<0$$;
   4) $$(x-3)\sqrt{14+5x-x^2}\leqslant0$$.
2. Масса соли составляет $$24\%$$ массы раствора. Сколько килограммов раствора надо взять, чтобы он содержал $$96\ \text{кг}$$ соли?

1. $$\left(x-3\right)\sqrt{14+5x-x^2}>0$$

   Так как $$\sqrt{14+5x-x^2}\ge 0,$$ то произведение будет положительным только при

   $$\begin{cases} 14+5x-x^2>0,\\ x-3>0. \end{cases}$$

   Решим неравенство:

   $$14+5x-x^2>0$$
   $$x^2-5x-14<0$$
   $$x^2-5x-14=(x-7)(x+2)$$
   $$-2<x<7.$$

   С учётом $$x>3$$ получаем:

   $$x\in(3;7).$$

2. $$\left(x-3\right)\sqrt{14+5x-x^2}\ge 0$$

   Здесь возможны два случая:

   $$\begin{cases} 14+5x-x^2>0,\\ x-3\ge 0 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} 14+5x-x^2=0. \end{cases}$$

   Из $$14+5x-x^2\ge 0$$ имеем:

   $$x^2-5x-14\le 0,$$
   $$(x-7)(x+2)\le 0,$$
   $$x\in[-2;7].$$

   Пересекаем с условием $$x\ge 3$$:

   $$x\in[3;7].$$

   Кроме того, при $$\sqrt{14+5x-x^2}=0$$ получаем корни $$x=-2$$ и $$x=7.$$

   Итак,

   $$x\in\{-2\}\cup[3;7].$$

3. $$\left(x-3\right)\sqrt{14+5x-x^2}<0$$

   Так как корень неотрицателен, произведение отрицательно, если

   $$\begin{cases} 14+5x-x^2>0,\\ x-3<0. \end{cases}$$

   Из первого неравенства:

   $$-2<x<7.$$

   Тогда с учётом $$x<3$$ получаем:

   $$x\in(-2;3).$$

4. $$\left(x-3\right)\sqrt{14+5x-x^2}\le 0$$

   Возможны случаи:

   $$\begin{cases} 14+5x-x^2>0,\\ x-3\le 0 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} 14+5x-x^2=0. \end{cases}$$

   Из условия существования корня:

   $$x^2-5x-14\le 0,$$
   $$(x-7)(x+2)\le 0,$$
   $$x\in[-2;7].$$

   Пересекаем с $$x\le 3$$:

   $$x\in[-2;3].$$

   Также подходят точки, где корень равен нулю: $$x=-2$$ и $$x=7.$$

   Итак,

   $$x\in[-2;3]\cup\{7\}.$$

Ответ

1) $$x\in(3;7)$$; 2) $$x\in\{-2\}\cup[3;7]$$; 3) $$x\in(-2;3)$$; 4) $$x\in[-2;3]\cup\{7\}$$.